Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти sin α и cos α, если tg α/2 = 5.

Ответ:

Tikhon228

19.03.2022 12:20

$\sin{\alpha}=\dfrac{5}{13},\cos{\alpha}=-\dfrac{12}{13}$

Пошаговое объяснение:

Пусть $tg\dfrac{\alpha}{2}=t,\alpha\in (-\pi,\pi)$ . Тогда $\dfrac{\alpha}{2}=arctg\ t, \alpha =2arctg\ t$ .

$\sin{\alpha}=\sin{(2arctg\ t)}=2\cdot\sin{arctg\ t}\cdot\cos{arctg\ t}$

Найдём синус и косинус от арктангенса. Поскольку $tg^2{x}+1=\dfrac{1}{\cos^2{x}}\Rightarrow \cos{x}=\sqrt{\dfrac{1}{tg^2{x}+1}}$ , то $\cos{arctg\ t}=\sqrt{\dfrac{1}{tg^2arctg\ t+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}$

Поскольку $ctg^2{x}+1=\dfrac{1}{\sin^2{x}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{tg^2{x}}+1=\dfrac{1}{\sin^2{x}}\Leftrightarrow \dfrac{1+tg^2{x}}{tg^2{x}}=\dfrac{1}{\sin^2{x}}\Rightarrow\\\Rightarrow \sin{x}=\sqrt{\dfrac{tg^2{x}}{tg^2{x}+1}}=\dfrac{tg\ x}{\sqrt{tg^2{x}+1}}$ , то $\sin{arctg\ t}=\dfrac{tg\ arctg\ t}{\sqrt{tg^2{arctg\ t}+1}}=\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}$ .

Получаем: $\sin{\alpha}=2\cdot\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}=\dfrac{2t}{t^2+1}$

$\cos{\alpha}=\cos{(2arctg\ t)}=\cos^2{arctg\ t}-\sin^2{arctg\ t}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}\right)^2-\\ -\left(\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}\right)^2=\dfrac{1}{t^2+1}-\dfrac{t^2}{t^2+1}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$

При t = 5: $\sin{\alpha}=\dfrac{2\cdot 5}{5^2+1}=\dfrac{10}{26}=\dfrac{5}{13},\cos{\alpha}=\dfrac{1-5^2}{1+5^2}=\dfrac{-24}{26}=-\dfrac{12}{13}$

P. S. Эта замена (через тангенс половинного угла) называется универсальной тригонометрической подстановкой.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Viki3888

11.04.2022 23:54

215 / (-5,0) = - 43 что значит знак? /...

2345metal6789

11.04.2022 23:54

Найдите площадь квадрата периметр которого равен 156м...

Мисаки11111

11.04.2022 23:54

Найдите сумму длин всех рёбер прямоугольно параллелепипеда , измерение которого равны 13 см, 16 см, 21 см...

simonlol98

03.01.2021 03:10

При каких значениях (*) четырехзначное число 6*5*: 1) кратно 3; 2) кратно 9? рассмотрите все случаи....

marijasoe19gmailcon

11.04.2022 23:54

Найдите координаты вектора a=-2i+4i и найдите его длину...

andrej1790

03.07.2020 20:49

Зпершої ділянки зібрали 240 кг картоплі, а з другої — у 2 рази менше. всю картоплю розклали в 6 однакових мішків. скільки кілограмів картоплі в кожному мішку?...

Russiangirl27

11.04.2022 23:54

Ширина прямоугольника 5 см, а длина на 6 см больше . найди длину стороны квадрата , периметр которого равен периметру этого прямоугольника...

dinara951211

09.03.2023 15:06

Номер 67 луч и отрезок тема 5 класс...

адрдрюе

11.04.2022 23:54

На улице сидят девочки айгерим динара гулсым и назерке.зеленое платье не у айгерим и динары синее платье не назерке.белое платье и красное платье не у динары какие платья...

yalunaluna

19.04.2023 06:53

Надо решить эти уравнения. 2cos3x=3sinx+cosx...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку