В треугольнике ABC проведена медиана AM, точка P – её середина, Q – точка пе- ресечения прямых CP и AB. Докажите, что если BP = BM, то треугольник APQ равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник APQ является равнобедренным, нужно показать, что его боковые стороны AP и AQ равны друг другу.

Для начала рассмотрим треугольник ABC. Поскольку точка P является серединой медианы AM, то PM будет равно половине длины медианы AM. Так как BP = BM, то мы можем сделать предположение, что PM = PQ.

Теперь проведем прямую, параллельную стороне AB, через точку Q, и обозначим ее пересечение с стороной AC точкой R.

Так как AM является медианой треугольника ABC, то точка R также будет являться серединой стороны AC. Поскольку MQ и PR являются параллельными линиями, то MQ разделяет треугольник ABC пополам. Из этого следует, что площадь треугольника AMQ равна половине площади треугольника ABC.

Также заметим, что треугольник APQ является подобным треугольнику ABC соответственно по двум углам. Это связано с тем, что угол AMP равен углу ACP (так как они являются вертикальными углами) и угол APM является общим для обоих треугольников.

Теперь посмотрим на отношение площадей треугольников APQ и ABC. Так как площадь AMQ равна половине площади ABC, а треугольники APQ и AMQ имеют общую высоту (расстояние от P до AB), то отношение площадей треугольников APQ и ABC также будет 1:2.

Из отношения площадей следует, что отношение сторон AP и AC будет равно квадратному корню из отношения площадей, то есть AP/AC = √(1/2).

Теперь рассмотрим треугольник ARQ. Так как точка R является серединой стороны AC, то AR равно половине стороны AC. Из симметрии и равенства треугольников APQ и ARQ следует, что сторона AQ также будет равна AR, то есть AQ = AR = AC/2.

Из уже полученного отношения сторон AP и AC мы можем заменить AC в этом равенстве, получив AQ = AR = AP/√2.

Таким образом, мы доказали, что стороны AP и AQ равны друг другу в равнобедренном треугольнике APQ, при условии, что BP = BM.