Для начала, нам нужно рассмотреть дифференциальное уравнение y'' + 25y = 0 и убедиться, что функция y = c1cos5x + c2sin5x удовлетворяет этому уравнению.
Для этого нам понадобится вычислить производные второго порядка от функции y.
Начнем с вычисления первой производной y':
y' = -c1sin5x + c2cos5x
Теперь найдем вторую производную y'':
y'' = -5c1cos5x - 5c2sin5x
Теперь мы можем подставить значения второй производной y'' и функции y в дифференциальное уравнение:
y''=-25c1cos5x-25c2sin5x
y''+25y=-25c1cos5x-25c2sin5x+24c1cos5x+25c2sin5x=0
Для этого нам понадобится вычислить производные второго порядка от функции y.
Начнем с вычисления первой производной y':
y' = -c1sin5x + c2cos5x
Теперь найдем вторую производную y'':
y'' = -5c1cos5x - 5c2sin5x
Теперь мы можем подставить значения второй производной y'' и функции y в дифференциальное уравнение:
y'' + 25y = (-5c1cos5x - 5c2sin5x) + 25(c1cos5x + c2sin5x)
Раскроем скобки:
-5c1cos5x - 5c2sin5x + 25c1cos5x + 25c2sin5x
Теперь сгруппируем слагаемые:
(-5c1cos5x + 25c1cos5x) + (-5c2sin5x + 25c2sin5x)
Упростим каждую группу:
(20c1cos5x) + (20c2sin5x)
Видим, что осталось только одно слагаемое y'' + 25y = 20c1cos5x + 20c2sin5x
Теперь нам нужно понять, при каких значениях c1 и c2 это выражение равно нулю.
Мы знаем, что cos5x и sin5x - это периодические функции с периодом 2π, то есть они будут равны нулю в следующих случаях:
1) Если 20c1cos5x = 0, то второе слагаемое равно нулю.
2) Если 20c2sin5x = 0, то третье слагаемое равно нулю.
Таким образом, если c1 = 0 или c2 = 0, то y'' + 25y = 0.
Итак, мы показали, что функция y = c1cos5x + c2sin5x удовлетворяет дифференциальному уравнению y'' + 25y = 0 при любых значениях c1 и c2.