Диагональ прямоугольника размерами 5х7 пересекает 11 единичных квадратиков. Тогда, сколько единичных квадратиков пересекает диагональ прямоугольника размерами 2020х2022?

Диагональ прямоугольника размерами 5х7 пересекает 11 единичных квадратиков. Тогда, сколько единичных

Ответ:

nadir1234

10.02.2022 11:20

Не увидела связи между прямоугольником $5\times 7$ и рассматриваемым. потому решение может не очень красивое.

Заметим, что есть узловая точка (-1011,1010) , которая делит прямоугольник на два (по диагонали), в которых количества пересекаемых квадратиков равны и потому можно посчитать только в одном из них.

Рассмотрим две горизонтальные прямые и диагональ. Внутри они образуют прямоугольный треугольник, один из катетов которого (горизонтальный) равен . Ну а тогда второй равен $2\dfrac{2022}{2020} = \dfrac{1011}{1010}1$ , а потому количество пересекаемых квадратов в каждой из горизонталей либо , либо . Поймем, когда их три.

Три квадратика образуются тогда и только тогда, когда точки пересечения соседних вертикалей находятся между соседними горизонталями. Для этого требуется, чтобы точка $\dfrac{1010}{1011}j$ ( -- номер вертикали) достаточно далеко находилась от ближайшего целого, то есть дробная часть $\left\{\dfrac{1010}{1011}j\right\}$ , что равносильно тому, что $1010j\equiv 0 \mod 1011$ , поскольку иначе число 1010j дает остаток, не меньший . Но (1010,1011)=1 , а потому единственными решениями будут $j=0,\;j=1011$ , то есть крайние вертикали, что не подходит. Значит, во всех горизонталях задеваются ровно два квадрата, а значит всего $2\cdot (2\cdot 1010) = 4040$ .