Базис. Векторы a и b образуют базис, поскольку на плоскости (у векторов по две координаты) любые два линейно независимых вектора образуют базис (поскольку пространство двумерно), а линейная независимость на плоскости эквивалентна условию, что векторы непараллельны, т.е. их координаты непропорциональны. Впрочем, можно подойти и формально, записав линейную комбинацию векторов a и b, а также приравняв её к нулю:
где - числа. В силу того, что определитель матрицы векторов не равен нулю (матрица невырожденная), существует только нулевое решение, что означает линейную независимость векторов a и b.
Разложение. Чтобы найти разложение вектора c по базису, приравняем линейную комбинацию векторов a и b к вектору c:
Домножим левую и правую часть слева на обратную матрицу коэффициентов векторов:
Е - единичная матрица, можно опустить (получается при перемножении матрицы и обратной к ней).
Итак,
Значит, .
Прямой проверкой можно убедиться в правильности ответа:
Пошаговое объяснение:
Базис. Векторы a и b образуют базис, поскольку на плоскости (у векторов по две координаты) любые два линейно независимых вектора образуют базис (поскольку пространство двумерно), а линейная независимость на плоскости эквивалентна условию, что векторы непараллельны, т.е. их координаты непропорциональны. Впрочем, можно подойти и формально, записав линейную комбинацию векторов a и b, а также приравняв её к нулю:
где
- числа. В силу того, что определитель матрицы векторов не равен нулю (матрица невырожденная), существует только нулевое решение, что означает линейную независимость векторов a и b.
Разложение. Чтобы найти разложение вектора c по базису, приравняем линейную комбинацию векторов a и b к вектору c:
Домножим левую и правую часть слева на обратную матрицу коэффициентов векторов:
Е - единичная матрица, можно опустить (получается при перемножении матрицы и обратной к ней).
Итак,
Значит,
.
Прямой проверкой можно убедиться в правильности ответа: