Вынесем общий множитель за скобку: . Еще вынесем: . Теперь видно, что слагаемые дальше делятся на . Сумма первых трех оканчивается на , а потому взаимно проста с десятью. Следовательно, сумма оканчивается на то количество нулей, на которое оканчивается . Двоек в : , а пятерок: . Значит сумма есть , где взаимно просто с . Тогда сумма оканчивается на нуля.
Вынесем общий множитель за скобку:
. Еще вынесем: 
. Теперь видно, что слагаемые дальше 
делятся на 
. Сумма первых трех оканчивается на 
, а потому взаимно проста с десятью. Следовательно, сумма оканчивается на то количество нулей, на которое оканчивается 
. Двоек в 
: ![\nu_{2}(2022!) = [2022/2]+[2022/2^2]+\ldots = 1011+505+252+126+63+31+15+7+3+1=2014](/tpl/images/4772/6715/7e92f.png)
, а пятерок: ![\nu_{5}(2022!) = [2022/5]+[2022/25]+\ldots = 404+80+16+3=503](/tpl/images/4772/6715/846c8.png)
. Значит сумма есть 
, где 
взаимно просто с 
. Тогда сумма оканчивается на 
нуля.