1.верно ли, что сумма всех пятизначных чисел, в десятичной записи которых используются только две ненулевые цифры a и b, всегда делится на 11111? (например, двузначными числами, в десятичной записи которых используются цифры 1 и 2, являются числа: 11,12,21,22

Да

Пошаговое объяснение:

Заметим, что каждому такому числу можно сопоставить другое число, заменив цифру a на b и наоборот (например, числу соответствует число ). Рассмотрим сумму двух таких чисел. Для этого распишем их в развёрнутой форме: , . Их сумма равна . Она делится на 11111. Любая такая сумма делится на 11111, поскольку если перед некоторым множителем 10ⁿ в одном числе стоит a, то в другом — обязательно b, и в сумме получаем (a + b)·10ⁿ. Поскольку сумма каждой такой пары делится на 11111, то и сумма сумм (без повторений) тоже будет делиться на 11111, но сумма таких сумм — это все числа, удовлетворяющие условию задачи.