Хорошо, давайте решим эти два неравенства по очереди:
а) Для начала, давайте приведем неравенство к стандартному виду, чтобы было легче понять, какое множество точек оно задает. Для этого сначала выведем все члены на одну сторону неравенства:
-x^2 + 3x - y + 4 < 0
Перепишем это неравенство так:
0 > x^2 - 3x + y - 4
Теперь выведем все члены с переменными налево, а все числовые коэффициенты – направо:
x^2 - 3x + y - 4 < 0
Теперь давайте исследуем это неравенство. Множество точек, удовлетворяющих данному неравенству, – это множество точек, для которых выражение слева от неравенства отрицательно. Чтобы понять это, рассмотрим некоторые точки и проверим, удовлетворяют ли они неравенству.
* Если x = 0 и y = 0, тогда левая часть неравенства равна -4, что является отрицательным числом. Так что данная точка подходит.
* Если x = 5 и y = 10, тогда левая часть неравенства равна 21, что является положительным числом. Так что данная точка не подходит.
Таким образом, все точки, которые лежат внутри кривой, заданной уравнением x^2 - 3x + y - 4 = 0, не подходят для данного неравенства. Следовательно, множество точек, задаваемых неравенством -x^2 + 3x - y + 4 < 0, находится снаружи этой кривой.
б) Для начала, давайте приведем неравенство к стандартному виду:
x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 ⩾ 0
Похоже на то, что здесь используется неравенство "больше либо равно". Это значит, что все точки, для которых выражение слева от неравенства неотрицательно, принадлежат множеству точек, задаваемому неравенством.
Давайте также выведем все члены с переменными налево, а числовые коэффициенты – направо:
x^2 - 2x + y^2 + 4y - 4 ⩾ 0
Теперь давайте посмотрим на левую часть неравенства. Это уравнение окружности с центром в (1, -2) и радиусом равным 3. Если выберем некоторые точки на этой окружности и внутри нее, то выражение слева от неравенства будет неотрицательным:
* Если x = 1 и y = -5, тогда левая часть неравенства равна 0, что является неотрицательным. Так что данная точка подходит.
* Если x = 0 и y = 0, тогда левая часть неравенства равна -4, что является отрицательным числом. Так что данная точка не подходит.
Таким образом, все точки, которые лежат на окружности и внутри нее, являются решениями данного неравенства. Следовательно, множество точек, задаваемых неравенством x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 ⩾ 0, включает в себя окружность с центром в (1, -2) и радиусом равным 3, а также все точки внутри этой окружности.
а) Для начала, давайте приведем неравенство к стандартному виду, чтобы было легче понять, какое множество точек оно задает. Для этого сначала выведем все члены на одну сторону неравенства:
-x^2 + 3x - y + 4 < 0
Перепишем это неравенство так:
0 > x^2 - 3x + y - 4
Теперь выведем все члены с переменными налево, а все числовые коэффициенты – направо:
x^2 - 3x + y - 4 < 0
Теперь давайте исследуем это неравенство. Множество точек, удовлетворяющих данному неравенству, – это множество точек, для которых выражение слева от неравенства отрицательно. Чтобы понять это, рассмотрим некоторые точки и проверим, удовлетворяют ли они неравенству.
* Если x = 0 и y = 0, тогда левая часть неравенства равна -4, что является отрицательным числом. Так что данная точка подходит.
* Если x = 5 и y = 10, тогда левая часть неравенства равна 21, что является положительным числом. Так что данная точка не подходит.
Таким образом, все точки, которые лежат внутри кривой, заданной уравнением x^2 - 3x + y - 4 = 0, не подходят для данного неравенства. Следовательно, множество точек, задаваемых неравенством -x^2 + 3x - y + 4 < 0, находится снаружи этой кривой.
б) Для начала, давайте приведем неравенство к стандартному виду:
x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 ⩾ 0
Похоже на то, что здесь используется неравенство "больше либо равно". Это значит, что все точки, для которых выражение слева от неравенства неотрицательно, принадлежат множеству точек, задаваемому неравенством.
Давайте также выведем все члены с переменными налево, а числовые коэффициенты – направо:
x^2 - 2x + y^2 + 4y - 4 ⩾ 0
Теперь давайте посмотрим на левую часть неравенства. Это уравнение окружности с центром в (1, -2) и радиусом равным 3. Если выберем некоторые точки на этой окружности и внутри нее, то выражение слева от неравенства будет неотрицательным:
* Если x = 1 и y = -5, тогда левая часть неравенства равна 0, что является неотрицательным. Так что данная точка подходит.
* Если x = 0 и y = 0, тогда левая часть неравенства равна -4, что является отрицательным числом. Так что данная точка не подходит.
Таким образом, все точки, которые лежат на окружности и внутри нее, являются решениями данного неравенства. Следовательно, множество точек, задаваемых неравенством x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 ⩾ 0, включает в себя окружность с центром в (1, -2) и радиусом равным 3, а также все точки внутри этой окружности.