Настя записала по кругу четные числа от 18 до 36 и для каждой пары соседей нашла их наибольший общий делитель. Могла ли Настя записать числа так, что все наибольшие общие делители равны 2?
Пусть Настя смогла это сделать. Разделим числа на две группы -- те, которые делятся на , но не делятся на , и те, что делятся на . Заметим, что в обеих группах поровну чисел, а потому они должны чередоваться на окружности. Поделим все числа на -- получатся числа . Теперь рядом стоящие числа взаимно просты, а четные и нечетные чередуются. Тогда рядом с числом должны располагаться два числа из (оставшиеся два нечетных делятся на ), рядом с тоже должны располагаться два из этих числа. Теперь можно попробовать расставить числа. Оказывается это возможно. Остается все умножить обратно на и записать результат: (крайние тоже соседи).
Пусть Настя смогла это сделать. Разделим числа на две группы -- те, которые делятся на
, но не делятся на 
, и те, что делятся на 
. Заметим, что в обеих группах поровну чисел, а потому они должны чередоваться на окружности. Поделим все числа на 
-- получатся числа 
. Теперь рядом стоящие числа взаимно просты, а четные и нечетные чередуются. Тогда рядом с числом 
должны располагаться два числа из 
(оставшиеся два нечетных делятся на 
), рядом с 
тоже должны располагаться два из этих числа. Теперь можно попробовать расставить числа. Оказывается это возможно. Остается все умножить обратно на 
и записать результат: 
(крайние тоже соседи).