На доске написано 101 число – 50 нулей и 51 единица. Двое по очереди выполняют такую операцию: зачёркивают любые два числа и, если они были одинаковые, дописывают к оставшимся числам один ноль, а если разные – единицу. Если в конце игры на доске осталась единица, то выиграл первый игрок, если остался ноль – второй игрок. Кто выиграет при правильной игре?

Заметим, что чётность суммы всех написанных на доске чисел не меняется: вместо 1,1 или 2, 2 (суммы равны 2 или 4 - чётные) пишут 2 (тоже чётное), вместо 1, 2 (сумма 3 - нечётная) пишут 1 - нечётное число.

Изначально сумма равна 10 * 1 + 10 * 2 = 30 - и она чётная. В конце должно остаться одно число, и так как чётность суммы не поменялась, то оно чётное, т.е. 2. Значит, выигрывает второй игрок, притом всегда.

ответ. Выигрывает второй игрок.

ответ: на доске 51. в данном случае не правильно будет считать что,101-51=50 чисел,поскольку данное действие не учитывает само число 51,а только числа начиная от 52 и дальше . то есть от 51 до 100 ровно 50 чисел, но до 101 ещё +1 число,итого на доске написано 51 число.