З'ясувати, в яких точках кривої у=х^3/3-2 нормаль утворює з віссю Ох кут п/4. (Выяснить, в каких точках кривой y=x^3/3-2 нормаль образует с осью Ох угол п/4.)

Начать надо  с касательной, ведь она с нормалью образует прямой угол.

Тангенс угла наклона касательной к оси Ох равен производной функции в точке касания.

Находим производную: y' = 3x²/3 = x².

Тангенс угла α = 45 градусов (это (пи/4)) равен 1.

Приравняем x² = 1, отсюда имеем 2 таких точки:

хо = -1 и хо = 1,

Находим значения функции в точках касания.

у(-1) = (-1/3) - 2 = -7/3.

у(1) = (1/3) - 2 = -5/3.

Нормаль имеет угол α + (π/2) = 45 + 90 = 135° или

α - (π/2) = 45 - 90 = -45°.

Отсюда видим, что касательной с альфа = -45 нет(x² ≠ -1).

Запишем уравнения нормали в общем виде:

y = yo - (1/y(o)')*(x - xo).

В результате имеем 2 уравнения:

y1 = (-7/3) - (1/1)*(x - xo) = (-7/3) - x - 1 = -x - (10/3).

y2 = (-5/3) - (1/1)*(x - xo) = (-5/3) - x + 1 = -x - (2/3).