Исследовать функцию и построить ее график:
y=x^2 +4/x

Для начала найдём область определения функции.

1)

Определим, является эта функция чётной, нечётной или же ни чётной, ни нечётной.

2) - следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Найдём точки пересечения с осью Ox (y = 0).

3)

Найдём точки пересечения с осью Oy (x = 0).

4) Так как x ≠ 0 (см. область определения), то точек пересечения графика функции с осью Oy нет.

Найдём промежутки знакопостоянства.

5)

+ - +

оо> x

Функция положительна при .

Функция отрицательна при .

Найдём асимптоты графика функции.

6) вертикальная асимптота: .

Предел равен . Горизонтальных асимптот не существует, наклонных асимптот не существует.

Вычислим производную и найдём критические точки функции.

7)

Найдём промежутки монотонности функции, точки экстремума и значение функции в этих точках.

8)

- - + f'(x)

о> x

f(x)

Функция убывает при .

Функция возрастает при .

- точка минимума функции.

.

Вычислим вторую производную.

9)

Определим выпуклость функции и найдём точки перегиба.

10)

+ - +

оо> x

Функция выпукла вниз при .

Функция выпукла вверх при .

Точка перегиба: .

Определим множество значений функции.

11) .