Резервуар, открытый сверху, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его лужение пошло наименьшее количество материала, если он должен вмещать 108 л воды?
Чтобы определить наименьшее количество материала, необходимого для резервуара, нужно минимизировать его поверхность. Давайте решим задачу шаг за шагом:
1. Предположим, что длина стороны основания резервуара - a.
2. Тогда его высота будет 108/a^2 (объем резервуара - 108л, а объем прямоугольного параллелепипеда - a^2*h).
3. Таким образом, поверхность этого резервуара будет равна:
2*a^2 + 4*a*(108/a^2).
4. Упрощаем выражение:
2*a^2 + 432/a.
5. Для нахождения минимума этой функции возьмем производную от нее по a и приравняем ее к нулю:
d(2*a^2 + 432/a)/da = 4*a - 432/a^2 = 0.
6. Решаем это уравнение:
4*a = 432/a^2.
7. Умножаем обе части уравнения на a^2:
4*a^3 = 432.
8. Деля обе части на 4, находим a^3:
a^3 = 108.
9. Извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения:
a = 3.
Таким образом, размеры резервуара должны быть 3 м на 3 м на 3 м, чтобы на него пошло наименьшее количество материала при вместимости 108 литров.
1. Предположим, что длина стороны основания резервуара - a.
2. Тогда его высота будет 108/a^2 (объем резервуара - 108л, а объем прямоугольного параллелепипеда - a^2*h).
3. Таким образом, поверхность этого резервуара будет равна:
2*a^2 + 4*a*(108/a^2).
4. Упрощаем выражение:
2*a^2 + 432/a.
5. Для нахождения минимума этой функции возьмем производную от нее по a и приравняем ее к нулю:
d(2*a^2 + 432/a)/da = 4*a - 432/a^2 = 0.
6. Решаем это уравнение:
4*a = 432/a^2.
7. Умножаем обе части уравнения на a^2:
4*a^3 = 432.
8. Деля обе части на 4, находим a^3:
a^3 = 108.
9. Извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения:
a = 3.
Таким образом, размеры резервуара должны быть 3 м на 3 м на 3 м, чтобы на него пошло наименьшее количество материала при вместимости 108 литров.