Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, - вопрос №2060980 от adubnovitskaj 01.05.2021 10:24

Question

Математика: Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если известен один из его корней z1=2+i

adubnovitskaj · Answer

Нам требуется составить квадратное уравнение вида

$az^{2} +bz+c=0$

Где a, b и c - действительные числа

z_0=2+i

Допустим мы составляем приведенное уравнение (a=1).

Тогда по теореме Виета

z_1+2+i=-b

(2+i)z_1=c

Для того, чтобы коэффициент c был действительным, мы можем принять z_1 за сопряженное с z_0 , т.е. z_1=2-i .

Логично, что для того, чтобы коэффициент b был действительным, требуется чтобы z_1 содержал комплексную часть, равную . Данное условие у нас уже соблюдается.

b=-(2+i+2-i)=-4

c=(2+i)(2-i)=4-(-1)=5

Теперь мы можем составить уравнение:

$z^{2}-4z+5=0$

Проверка:

$D=16-20=-4=(2i)^{2}$

$z_0=\frac{4+2i}{2} =2+i$

z_1=2-i

ответ: $z^{2}-4z+5=0$