Добрый день! Для того, чтобы составить каноническое уравнение гиперболы, мы должны знать её центр и параметры. Для этого воспользуемся информацией о точках P и Q.
Шаг 1: Найдем координаты центра гиперболы
Центр гиперболы представляет собой точку посередине между точками P и Q. Для этого найдем среднее арифметическое их координат:
x_центра = (x_P + x_Q) / 2
y_центра = (y_P + y_Q) / 2
Подставим значения координат точек P и Q:
x_центра = (-5 + 2√5) / 2
y_центра = (2 + 2) / 2
Выполним вычисления:
x_центра = (-5 + 2√5) / 2
y_центра = 4 / 2
Распишем эти выражения подробнее:
x_центра = -5/2 + √5/2
y_центра = 2
Таким образом, центр гиперболы имеет координаты (-5/2 + √5/2, 2).
Шаг 2: Найдем параметры гиперболы
Теперь нам необходимо найти параметры гиперболы - большую ось (2a) и малую ось (2b).
2a - это расстояние между точками P и Q.
2b - это расстояние между центром гиперболы и её верхним/нижним концами или между центром и её левым/правым концами.
2a = |x_Q - x_P|
2b = |y_Q - y_центра|
Подставим значения координат точек P, Q и центра:
2a = |2√5 - (-5)|
2b = |2 - 2|
Выполним вычисления:
2a = |2√5 + 5|
2b = 0
Таким образом, параметры гиперболы равны 2a = |2√5 + 5| и 2b = 0.
Шаг 3: Составим каноническое уравнение гиперболы
Теперь, когда у нас есть центр и параметры гиперболы, мы можем составить её каноническое уравнение.
Формула для канонического уравнения гиперболы выглядит следующим образом:
(x - h)^2 / a^2 - (y - k)^2 / b^2 = 1
где (h, k) - координаты центра, a - половина большой оси и b - половина малой оси.
Подставим значения координат центра и параметров:
((x - (-5/2 + √5/2))^2) / ((|2√5 + 5|/2)^2) - ((y - 2)^2) / (0/2)^2 = 1
Не забываем, что 2b = 0, поэтому b = 0/2 = 0. В таком случае формула для y упрощается до ((y - 2)^2) / (0^2) = 0.
Теперь перепишем каноническое уравнение без второго слагаемого:
((x - (-5/2 + √5/2))^2) / ((|2√5 + 5|/2)^2) - 0 = 1
Таким образом, каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки P и Q, будет:
((x - (-5/2 + √5/2))^2) / ((|2√5 + 5|/2)^2) = 1
Это и есть искомое уравнение гиперболы.
Надеюсь, я смог разъяснить этот вопрос и составить понятное пошаговое решение. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте, я буду рад помочь!
