А(1;-2;3) В(1;10;8) С(1;4;0) D(2;-2;2) извесны координати чотирьох вершин пирамиди ABCD нужно найти
1) довжину AB
2) кут між AB та BC
3) площу трикутника АВС
4) обьем пирамиды
5) довжину висоты DH пирамиды проведёную до плоскости АВС

Задано четыре точки А(1;-2;3), В(1;10;8), С(1;4;0), D(2;-2;2).

Найти:

1) довжину AB

2) кут між AB та BC

3) площу трикутника АВС

4) обьем пирамиды

5) довжину висоты DH пирамиды проведёную до плоскости АВС.

1) Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

a = √(X² + Y² + Z²).

Находим координаты вектора АВ по точкам А(1;-2;3), В(1;10;8).

АВ = (1-1; 10-(-2); 8-3) = (0; 12; 5).

Длина АВ = √(02 + 122 + 52)  = √(0 + 144 + 25) = √169 = 13.

2) Угол между сторонами треугольника АВ и ВС это угол В.

Вектор ВА имеет обратные знаки по сравнению с вектором АВ.

ВА = (0; -12; -5).

Находим координаты вектора ВС по точкам В(1;10;8) С(1;4;0).

ВС = (1-1; 4-10; 0-8) = (0; -6; -8).

Длина ВС = √(02 + (-6)2 + (-8)2)  = √(0 + 36 + 64) = √100 = 10.

cos(ВА_BC) = (0*0+(-12)*(-6)+(-5)*(-8))/(13*10) = (0+72+40)/130 = 112/130 = 56/65.

<(ВА_BC) = arccos(56/65) = 30,51024 градуса.

3) Площадь треугольника АВС находим как половину модуля векторного произведения векторов ВА и ВС

I         j         k|         I          j

0     -12      -5|         0       -12

0      -6       -8|        0        -6   =   96i +0j + 0k – 0j – 30i – 0k = 66i.  

BA*BC = (66; 0; 0).

S(ABC) = (1/2)*√(662 + 02 + 02) = 66/2 = 33 кв. ед.

4) Объем пирамиды находим как (1/6) модуля смешанного произведения векторов AB, AC, AD.

Находим векторы АС и AD: А(1;-2;3), С(1;4;0), D(2;-2;2).

АС = (1-1; 4-(-2); 0-3) = (0; 6; -3).

AD = (2-1; -2-2; 2-3) = (1; -4; -1).

(ABxAC)*AD: =

0     12     5|      0      12

0      6     -3|      0        6

1     -4     -1|      1       -4  = 0 – 36 + 0 – 0 – 0 – 30 = - 66.

V = (1/6)*66 = 11 куб. ед.

5) Довжину висоты DH пирамиды проведёную до плоскости АВС.

DH = 3V/S(ABC) = 3*11/33 = 1.