1. Случайная величина распределена по закону Х 3 5 7 11 12 P 0.14 0,20 0.39 0,17 1) Найти недостающее значение вероятности; 2) Найти функцию распределения F(x); 3) Построить ее график, 4) Определить числовые характеристики ДСВХ: моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
Добрый день! Давайте по порядку разберём ваш вопрос.
1. Для того чтобы найти недостающее значение вероятности, нужно учесть, что сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Таким образом, мы можем вычислить недостающее значение, вычтя сумму остальных вероятностей из 1:
1 - (0.14 + 0.20 + 0.39 + 0.17) = 1 - 0.90 = 0.10
Таким образом, недостающее значение вероятности равно 0.10.
2. Функция распределения F(x) показывает вероятность того, что случайная величина X принимает значение меньше или равное x. Для вычисления функции распределения нужно сложить все вероятности до данного значения. В случае нашей случайной величины X значение функции распределения будет следующим:
F(3) = 0.14
F(5) = F(3) + 0.20 = 0.34
F(7) = F(5) + 0.39 = 0.73
F(11) = F(7) + 0.17 = 0.90
F(12) = F(11) + 0.10 = 1.00
Таким образом, функция распределения F(x) выглядит следующим образом:
F(x) = {0 при x < 3, 0.14 при 3 ≤ x < 5, 0.34 при 5 ≤ x < 7, 0.73 при 7 ≤ x < 11, 0.90 при 11 ≤ x < 12, 1 при x ≥ 12}
3. График функции распределения F(x) для данной случайной величины будет выглядеть следующим образом:
(вставить график с уровнями 0, 0.14, 0.34, 0.73, 0.90, 1)
4. Теперь перейдём к числовым характеристикам данной случайной величины:
- Модой (мода) в данном случае будет равна значению с наибольшей вероятностью, то есть 7.
- Медиана - значение, которое делит выборку пополам. Для нашей случайной величины медианой будет значение, для которого функция распределения F(x) превышает 0.5 в последний раз перед этим значением. В данном случае это значение 7.
- Математическое ожидание (среднее арифметическое) можно вычислить, умножив каждое значение случайной величины на соответствующую вероятность и сложив результаты:
E(X) = 3 * 0.14 + 5 * 0.20 + 7 * 0.39 + 11 * 0.17 + 12 * 0.10 = 7.58
- Дисперсия - это среднее квадратов отклонений от математического ожидания. Для вычисления дисперсии нужно вычислить среднее значение квадратов разностей между каждым значением случайной величины и её математическим ожиданием, умноженным на соответствующую вероятность, и сложить результаты:
D(X) = (3 - 7.58)² * 0.14 + (5 - 7.58)² * 0.20 + (7 - 7.58)² * 0.39 + (11 - 7.58)² * 0.17 + (12 - 7.58)² * 0.10 = 8.0664
- Среднеквадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
σ(X) = √(8.0664) ≈ 2.8403
Надеюсь, что данное разъяснение помогло вам понять решение данной задачи. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь обращаться!
1. Для того чтобы найти недостающее значение вероятности, нужно учесть, что сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Таким образом, мы можем вычислить недостающее значение, вычтя сумму остальных вероятностей из 1:
1 - (0.14 + 0.20 + 0.39 + 0.17) = 1 - 0.90 = 0.10
Таким образом, недостающее значение вероятности равно 0.10.
2. Функция распределения F(x) показывает вероятность того, что случайная величина X принимает значение меньше или равное x. Для вычисления функции распределения нужно сложить все вероятности до данного значения. В случае нашей случайной величины X значение функции распределения будет следующим:
F(3) = 0.14
F(5) = F(3) + 0.20 = 0.34
F(7) = F(5) + 0.39 = 0.73
F(11) = F(7) + 0.17 = 0.90
F(12) = F(11) + 0.10 = 1.00
Таким образом, функция распределения F(x) выглядит следующим образом:
F(x) = {0 при x < 3, 0.14 при 3 ≤ x < 5, 0.34 при 5 ≤ x < 7, 0.73 при 7 ≤ x < 11, 0.90 при 11 ≤ x < 12, 1 при x ≥ 12}
3. График функции распределения F(x) для данной случайной величины будет выглядеть следующим образом:
(вставить график с уровнями 0, 0.14, 0.34, 0.73, 0.90, 1)
4. Теперь перейдём к числовым характеристикам данной случайной величины:
- Модой (мода) в данном случае будет равна значению с наибольшей вероятностью, то есть 7.
- Медиана - значение, которое делит выборку пополам. Для нашей случайной величины медианой будет значение, для которого функция распределения F(x) превышает 0.5 в последний раз перед этим значением. В данном случае это значение 7.
- Математическое ожидание (среднее арифметическое) можно вычислить, умножив каждое значение случайной величины на соответствующую вероятность и сложив результаты:
E(X) = 3 * 0.14 + 5 * 0.20 + 7 * 0.39 + 11 * 0.17 + 12 * 0.10 = 7.58
- Дисперсия - это среднее квадратов отклонений от математического ожидания. Для вычисления дисперсии нужно вычислить среднее значение квадратов разностей между каждым значением случайной величины и её математическим ожиданием, умноженным на соответствующую вероятность, и сложить результаты:
D(X) = (3 - 7.58)² * 0.14 + (5 - 7.58)² * 0.20 + (7 - 7.58)² * 0.39 + (11 - 7.58)² * 0.17 + (12 - 7.58)² * 0.10 = 8.0664
- Среднеквадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
σ(X) = √(8.0664) ≈ 2.8403
Надеюсь, что данное разъяснение помогло вам понять решение данной задачи. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь обращаться!