На светофоре красный и зеленый свет горят по 25 сек., а желтый –– 5 сек. Автомобилю предстоит проехать 5 перекрестков, на которых светофоры работают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что: а) все светофоры автомобиль проедет без остановки;
б) автомобиль будет ожидать у светофора не менее трех раз.
а) Для того чтобы автомобиль проехал все перекрестки без остановки, нужно, чтобы на каждом светофоре горел зеленый или желтый свет. Предположим, что на каждом перекрестке светофор горит зеленым или желтым светом в течение всего отведенного времени.
Так как на каждом светофоре зеленый и желтый свет горят по 25 секунд, а желтый свет - 5 секунд, то вероятность того, что свет будет зеленым или желтым в течение всего времени на одном перекрестке равна (25 + 5) / (25 + 5 + 25) = 30 / 55 = 6 / 11.
Поскольку светофоры работают независимо друг от друга, то вероятность того, что автомобиль проедет все 5 перекрестков без остановки равна произведению вероятностей для каждого перекрестка: (6 / 11)^5 ≈ 0,0698. Таким образом, вероятность того, что все светофоры автомобиль проедет без остановки, составляет около 0,0698 или примерно 6,98%.
б) Чтобы автомобиль ожидал у светофора не менее трех раз, предположим, что на каждом перекрестке светофор горит красным светом не менее трех раз.
Вероятность того, что светофор будет гореть красным в течение всего времени на одном перекрестке, равна 25 / (25 + 5 + 25) = 25 / 55 = 5 / 11.
Вероятность того, что автомобиль будет ожидать у светофора не менее трех раз на одном перекрестке, равна (5 / 11)^3 ≈ 0,0712.
Поскольку светофоры работают независимо друг от друга, то вероятность того, что автомобиль будет ожидать у светофора не менее трех раз на всех 5 перекрестках, составляет произведение вероятностей для каждого перекрестка: (0,0712)^5 ≈ 0,00066. Таким образом, вероятность того, что автомобиль будет ожидать у светофора не менее трех раз, составляет около 0,00066 или примерно 0,066%.