Найдите наибольшее значение функции y=(x−8)2(x−9)+1y на отрезке [-4; 8,5]

Пошаговое объяснение:

Дана функция y=(x-8)²·(x-9)+1 на отрезке [-4; 8,5].

Находим производную от функции:

y' = ((x-8)²·(x-9)+1)' = ((x-8)²)'·(x-9)+(x-8)²·(x-9)'+0 = 2·(x-8)·(x-9)+(x-8)² =

= 2·x²-34·x+144+x²-16·x+64 = 3·x²-50·x+208.

Определим стационарные точки:

y' = 0 ⇔ 3·x²-50·x+208=0. Тогда

D = (-50)²-4·3·208 = 2500-2496 = 4 = 2²,

x₁=(50-2)/(2·3)=48/6=8∈[-4; 8,5],

x₂=(50+2)/(2·3)=52/6=8 4/6=8 2/3 ∉[-4; 8,5].

Вычислим значения функции при x = -4, x = 8 и x = 8,5:

y(-4) = (-4-8)²·(-4-9)+1 = 144·(-13)+1 = -1872+1 = -1871;

y(8) = (8-8)²·(8-9)+1 = 0·(-1)+1 = 0+1 = 1;

y(8,5) = (8,5-8)²·(8,5-9)+1 = 0,25·(-0,5)+1 = -0,125+1 = 0,875.

Наибольшее значение функции y=(x-8)²·(x-9)+1 на отрезке [-4; 8,5] :

y(8) = 1.