Чтобы доказать, что функция ? = ?^(??(?/2)) является решением дифференциального уравнения ????? = ????, сначала мы продифференцируем функцию ? по переменной ?, а затем подставим это в уравнение и проверим, выполняется ли оно для данной функции.
1. Дифференцирование функции ? по переменной ?:
Для этого мы воспользуемся правилом дифференцирования композиции функций:
Если ? = ?(?), где ? = ?(?), то ????? = ?'(?) * ?'(?).
В нашем случае, ?(?) = ?^(??(?/2)), а ?(?) = ??(?/2).
Таким образом, ?'(?) = ?^? и ?'(?) = ??'(?/2) * (1/2) = (1/2) * ???^2(?/2).
Теперь, мы можем продифференцировать функцию ? по переменной ?:
?' = ?'(?) * ?'(?) = ?^? * (1/2) * ???^2(?/2).
2. Проверка уравнения ????? = ????:
Подставим ?' и ? в уравнение:
????? = (?^(??(?/2)))???? = ?^(??(?/2))????,
???? = (?^(??(?/2)))??(?^(??(?/2))) = ?^(??(?/2))??(?^(??(?/2))).
Теперь сравним обе части уравнения:
?^(??(?/2))???? ?= ?^(??(?/2))??(?^(??(?/2))).
Заметим, что ?^(??(?/2)) не равно нулю для никакого значения ?.
Поэтому у нас есть возможность сократить ?^(??(?/2)) с обеих сторон уравнения:
???? ?= ??(?^(??(?/2))),
???? ?= ??(?/2).
Мы знаем, что это уравнение истинно для любого значения ?, поэтому это означает, что функция ? = ?^(??(?/2)) является решением данного дифференциального уравнения.
Таким образом, мы доказали, что функция ? = ?^(??(?/2)) является решением дифференциального уравнения ????? = ????.
