Пусть неправильная дробь p/q несократима. Может ли оказаться сократимой правильная дробь - дробная часть полученной из неё смешанной дроби? Как доказать .
Тогда пусть [очевидно, такое представление существует: - это остаток, а - частное от деления с остатком на ]
Тогда
Очевидно, , а значит - рассматриваемая дробная часть.
Пусть d и q имеют общий простой множитель s, т.е. дробь сократима. Но тогда также делится на s - а значит и делится на s, то есть исходная дробь сократима - противоречие с условием.
Пошаговое объяснение:
Алгоритм Евклида.
Пусть a = b⋅q + r, тогда НОД (a, b) = НОД (b, r)
Из чего вытекает несократимость дробной части
Предположим, дробная часть a/b- сокращается в отличии от неправильной дроби (bc+a)/b где целая часть это число с
a/b- сокращается⇒НОД(a; b)=k>1, числа a и b делятся на число k
a=nk, b=mk⇒bc+a=cmk+nk=k(cm+n)⇒НОД(bc+a; b)≥k>1
То есть неправильная дробь тоже сократима.
Пришли к противоречию. Значит, наше предположение было неверным.
Нет
Пошаговое объяснение:
Так как дробь неправильная, то
.
Тогда пусть
[очевидно, такое представление существует: 
- это остаток, а 
- частное от деления с остатком 
на 
]
Тогда
Очевидно,
, а значит 
- рассматриваемая дробная часть.
Пусть d и q имеют общий простой множитель s, т.е. дробь сократима. Но тогда
также делится на s - а значит и 
делится на s, то есть исходная дробь 
сократима - противоречие с условием.
Значит, рассматриваемая дробная часть несократима