Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Пошаговое объяснение:

y' - 4xy = x.   =>   y' = (4y + 1)x.

Разделяем переменные:

dy/dx = (4y + 1)x   =>   dy/(4y + 1) = xdx.

(Везде далее фигурные скобки будут означать модуль) Интегрируем обе части и получаем:

(1/4)ln{4y + 1} = x^2/2 + C.

Это можно выразить явно для y:

y = (exp(2x^2 + C) - 1)/4, где C - другая произвольная постоянная.

Подставляем начальные условия:

3/4 = (exp(C) - 1)/4   =>   exp(C) - 1 = 3, C = ln 4.

Тогда частное решение можно будет записать как:

y = (4exp(2x^2) - 1)/4 = exp(2x^2) - 1/4.