Предположим, что a≤b≤c, причем расстояние между a и b не больше, чем между b и c (если бы расстояние между a и b было больше, мы могли бы умножить все три числа на минус 1, и тогда самым маленьким стало левое расстояние). Итак, мы имеем:
a=b-p; c=b+q; q≥p≥0. Надо доказать, что
2p²≤a²+b²+c², то есть 2p²≤(b-p)²+b²+(b+q)²;
2p²≤b²-2bp+p²+b²+b²+2bq+q²; 3b²+2b(q-p)+(q²-p²)≥0.
Заметим, что это квадратный трехчлен относительно b.
Поскольку старший коэффициент положителен, а дискриминант
меньше либо равен 0, это выражение не бывает отрицательным.
На этом доказательство завершено.
Предположим, что a≤b≤c, причем расстояние между a и b не больше, чем между b и c (если бы расстояние между a и b было больше, мы могли бы умножить все три числа на минус 1, и тогда самым маленьким стало левое расстояние). Итак, мы имеем:
a=b-p; c=b+q; q≥p≥0. Надо доказать, что
2p²≤a²+b²+c², то есть 2p²≤(b-p)²+b²+(b+q)²;
2p²≤b²-2bp+p²+b²+b²+2bq+q²; 3b²+2b(q-p)+(q²-p²)≥0.
Заметим, что это квадратный трехчлен относительно b.
Поскольку старший коэффициент положителен, а дискриминант
меньше либо равен 0, это выражение не бывает отрицательным.
На этом доказательство завершено.