В треугольнике ABC стороны а, Ь, с (а b с) образуют - вопрос №20095859 от egorviktorov20 19.01.2023 14:10

Question

Математика: В треугольнике ABC стороны а, Ь, с (а b с) образуют арифметическую прогрессию. Известно, что R • г = 130, где R и г — соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей. Найти наименьшую целую тройку (а, 6, с).​

egorviktorov20 · Answer

Пусть a = x - d, b = x, c = x + d, где d - разность прогрессии. Известно,

что SΔ = $\frac{abc}{4R} = \frac{1}{2} Pr$ , где Р - периметр треугольника; по условию R•г = 130

⇒ R = 130/r ⇒ abc·r/(4·130) = (a + b + c)·r/2 ⇒ abc = 260·(a + b + c) ⇒

(x - d)·x·(x + d) = 260·(x - d + x + x + d) ⇔ x(x² - d²) = 3·260x ⇒

x(x² - d² - 780) = 0 ⇒ x² = d² + 780, так как сторона Δ положительна.

По условию (а, b, с) – тройка целых чисел ⇒ подбираем d так, чтобы $x = \sqrt{d^{2} +780 }$ было целым и наименьшим из возможных;

при d = 2 имеем: х = $\sqrt{784}$ = 28 ⇒ a = 28 - 2 = 26; b = 28; c = 28 + 2 = 30

⇒ (26; 28; 30) – наименьшая целая тройка сторон треугольника.