Пусть точка касания имеет координаты А(х; (1/2)х²).
По сути - это самая близкая точка на параболе к точке О(4; 1).
Найдём расстояние ОА:
OA² = f(x) = (x - 4)² + (((1/2)х² - 1)² = x² - 8x + 16 + (1/4)x^4 - x² + 1 =
= (1/4)x^4 - 8x + 17.
Найдём производную этой функции.
f'(x) = x³ - 8.
Точку минимума функции найдём, приравняв производную нулю.
x³ - 8 = 0,
х = ∛8 = 2.
ответ: абсцисса точки касания х = 2.
Пусть точка касания имеет координаты А(х; (1/2)х²).
По сути - это самая близкая точка на параболе к точке О(4; 1).
Найдём расстояние ОА:
OA² = f(x) = (x - 4)² + (((1/2)х² - 1)² = x² - 8x + 16 + (1/4)x^4 - x² + 1 =
= (1/4)x^4 - 8x + 17.
Найдём производную этой функции.
f'(x) = x³ - 8.
Точку минимума функции найдём, приравняв производную нулю.
x³ - 8 = 0,
х = ∛8 = 2.
ответ: абсцисса точки касания х = 2.