№325 Ю.М. Колягин , 10 класс. Доказать , что если уравнение хⁿ+а₁хⁿ⁻¹ +а₂хⁿ⁻² +...аⁿ=0 с целыми коэффициентами а₁, а₂ ,аₙ имеет рациональный корень , то этот корень-₇ целое число . Максимально подробно.
Если f(x)=хⁿ+а₁хⁿ⁻¹ +а₂хⁿ⁻² +...аⁿ=0 приведённый многочлен n-ой степени с целыми коэффициентами имеет рациональный корень х=p/q, где p/q -несократимая дробь, причём q ≥2, р∈Z, q∈N.
Тогда f(х)=f(p/q)=0, ⇒
pⁿ/qⁿ +a₁pⁿ⁻¹/qⁿ⁻¹+a₂pⁿ⁻²/qⁿ⁻² +...aₙ= 0
Умножим обе части равенства на qⁿ⁻¹, получим:
pⁿ/q +a₁pⁿ⁻¹/+a₂pⁿ⁻²q +...aₙ/qⁿ⁻¹= 0 ⇒все члены, кроме первого окажутся целыми числами, значит и pⁿ/q-должно быть целым числом, но это не так, т.к. p/q-дробь несократимая и числа p и q не имеют общих делителей,⇒общих делителей не имеют pⁿ и q.
Значит многочлен f(x) не может иметь рациональных корней, не являющихся целыми числами, ч.т.д.
Пошаговое объяснение:Док-во:
Если f(x)=хⁿ+а₁хⁿ⁻¹ +а₂хⁿ⁻² +...аⁿ=0 приведённый многочлен n-ой степени с целыми коэффициентами имеет рациональный корень х=p/q, где p/q -несократимая дробь, причём q ≥2, р∈Z, q∈N.
Тогда f(х)=f(p/q)=0, ⇒
pⁿ/qⁿ +a₁pⁿ⁻¹/qⁿ⁻¹+a₂pⁿ⁻²/qⁿ⁻² +...aₙ= 0
Умножим обе части равенства на qⁿ⁻¹, получим:
pⁿ/q +a₁pⁿ⁻¹/+a₂pⁿ⁻²q +...aₙ/qⁿ⁻¹= 0 ⇒все члены, кроме первого окажутся целыми числами, значит и pⁿ/q-должно быть целым числом, но это не так, т.к. p/q-дробь несократимая и числа p и q не имеют общих делителей,⇒общих делителей не имеют pⁿ и q.
Значит многочлен f(x) не может иметь рациональных корней, не являющихся целыми числами, ч.т.д.