Математика: Найти производную функции: y=(sqrt(x))^arcsin(x)

Задание. Найти производную функции Решение. Задана функция вида Для нахождения производной данной функции выполняют следующие этапы:1. Прологарифмировать обе части данного равенства по основанию 2. По свойству логарифмов имеем:3. Найти производную двух частей равенства по переменной 3.1. Используя имеем:3.2. Используя правило имеем:3.2.1. Используя и имеем:3.2.2. Используя имеем:3.2.3. Упросим выражение и получаем:3.3. Имеем:4. Умножим обе части равенства на 5. Поскольку из условия то:ответ:...

Найти производную функции:
y=(sqrt(x))^arcsin(x)

Ответ:

Lenechka20

20.07.2021 19:59

Задание. Найти производную функции $y = \left(\sqrt{x}\right)^{\arcsin x}.$

Решение. Задана функция вида $y = \left(f(x) \right)^{g(x)}.$

Для нахождения производной данной функции выполняют следующие этапы:

1. Прологарифмировать обе части данного равенства по основанию $e\colon$

$\ln y = \ln \left(\sqrt{x} \right)^{\arcsin x}.$

2. По свойству логарифмов $\log_{a}b^{p} = p\log_{a}b$ имеем:

$\ln y = \arcsin x \cdot \ln \left\sqrt{x} .$

3. Найти производную двух частей равенства по переменной $x \colon$

$(\ln y)' = (\arcsin x \cdot \ln \left\sqrt{x})'.$

3.1. Используя $(\ln u) = \dfrac{1}{u} \cdot u',$ имеем:

$(\ln y)' = \dfrac{1}{y} \cdot y' = \dfrac{y'}{y} .$

3.2. Используя правило $(u \cdot v)' = u'v + uv',$ имеем:

$(\arcsin x)' \cdot \ln \sqrt{x} + \arcsin x \cdot (\ln \sqrt{x})'.$

3.2.1. Используя $\arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ и $(\ln u)' = \dfrac{1}{u} \cdot u',$ имеем:

$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \ln \sqrt{x} + \arcsin x \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x})'.$

3.2.2. Используя $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}},$ имеем:

$\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} .$

3.2.3. Упросим выражение и получаем:

$\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}.$

3.3. Имеем:

$\dfrac{y'}{y} =\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}.$

4. Умножим обе части равенства на $y \colon$

$y' = \left(\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}\right) \cdot y.$

5. Поскольку из условия $y = \left(\sqrt{x}\right)^{\arcsin x},$ то:

$y' = \left(\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}\right) \cdot \left(\sqrt{x}\right)^{\arcsin x}.$

ответ: $y' = \left(\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \dfrac{\arcsin x}{2x}\right) \cdot \left(\sqrt{x}\right)^{\arcsin x}.$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Victor111111111

03.08.2022 08:08

Спервой грядки собрали на 4 мешка лука больше чем со второй сколько килограммов лука в одном мешке если с первой грядки собрали на двести килограмм лука больше чем...

AlisaLisa005

03.08.2022 08:08

Автобусах разместились 85 экскурсоводов в первый автобус разместились на семь человек меньше чем во втором сколько экскурсоводов находится в каждом автобусе...

Nastyushon

03.08.2022 08:08

Бревно длиной 8 м и 1дм распилили на 2 части так, что одна из них в 2 раза длинее другой. скольким дециметрам равна длина каждой части бревна? заранее...

samuraterikov0

03.08.2022 08:08

Сколько всего делителей (не обязательно простых) у числа 435781500?...

Lera2010K

03.08.2022 08:08

Первый столяр сделал 7 скамеек а второй 4 скамейки при этом первый столяр истратил на 21 доску больше чем второй сколько досок истратил каждый столяр...

goncharovkava

03.08.2022 08:08

Впервом мотке 48 м провода а во втором 39 сколько рублей стоит 1 метр провода если за первый моток заплатили на 180 руб. чем за второй...

toshaantoshai

03.08.2022 08:08

При каком значение дробь не имеет смысла? х(дробная черта) х-4...

ЗиА11

03.08.2022 08:08

Длина одной стороны прямоугольника 2200мм. а другой в 14 раз больше. вычисли площадь прямоугольника....

alferovasnega

03.08.2022 08:08

Дети получили одинаковые подарки. в них были мандарины и конфеты.сколько детей было если всего было 76 мандаринов и 57 конфет...

WDGa5ter

03.08.2022 08:08

Кобейтудин улестиримдилик касиетин пайдаланып, косынды, айырма туринде жазындар. 1)2(х+3) 5)6(т+3) 2)4(х-5) 6)7(n-8) 3)9(4+у) 7)5(a+7) 4)5(у-2) 8)4(b-3...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку