Некоторый клетчатый прямоугольник разбит на прямоугольники
2 × 3, причём ровно 100 этих прямоугольников оказались расположены вертикально. Докажите, что невозможно разбить исходный прямоугольник на прямоугольники 2 × 3 так, чтобы ровно 2017 прямоугольников были расположены
вертикально.
Обозначим через m количество прямоугольников 2 × 3, которые будут расположены вертикально в разбиении исходного прямоугольника. По условию задачи, m = 100.
Также обозначим через n количество прямоугольников 2 × 3, которые будут располагаться горизонтально в разбиении. Заметим, что общее количество прямоугольников в разбиении равно 2017, то есть m + n = 2017.
Очевидно, что в каждом вертикальном прямоугольнике располагается 2 прямоугольника 2 × 3. Следовательно, общее количество прямоугольников в вертикальных прямоугольниках равно 2m.
Аналогично, количество прямоугольников в горизонтальных прямоугольниках будет равно 3n.
Так как общее количество прямоугольников в разбиении равно 2017 и между ними нет пересечений, получаем уравнение 2m + 3n = 2017.
Заметим, что это уравнение имеет решение в целых числах, так как коэффициенты 2 и 3 являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1). Таким образом, уравнение 2m + 3n = 2017 имеет бесконечное множество решений в целых числах.
Итак, мы получили противоречие: с одной стороны, из условия задачи следует, что m = 100, а с другой стороны, уравнение 2m + 3n = 2017 имеет бесконечное множество решений в целых числах.
Следовательно, наше предположение о том, что можно разбить исходный прямоугольник на прямоугольники 2 × 3 так, чтобы ровно 2017 прямоугольников были расположены вертикально, неверно.
Таким образом, доказано, что невозможно разбить исходный прямоугольник на прямоугольники 2 × 3 так, чтобы ровно 2017 прямоугольников были расположены вертикально.