Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти границу последовательности
Возможно как-то применяя интеграл

Найти границу последовательности Возможно как-то применяя интеграл

Ответ:

Joan36

10.07.2021 15:36

$\dfrac{1}{2}$

Пошаговое объяснение:

$$a_n=n*\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(n+k)^2}=\dfrac{1}{n}*\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{n^2}{(n+k)^2}=\dfrac{1}{n}*\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(1+\frac{k}{n})^2}=\dfrac{1}{n}*\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(1+x_k)^2}$ , где $x_k=\dfrac{k}{n},k=\overline{0,n}$ . Отметим, что $\Delta x=x_k-x_{k-1}=\dfrac{1}{n},k=\overline{1,n}$ , при этом 0=x_0 .

То есть x_k - узлы разбиения отрезка [0;1] на равные отрезки длины $\dfrac{1}{n}$ .

Тогда a_n можно записать в виде

$$a_n=\sum\limits_{k=1}^n\Delta x*f(x_k)$ , где $f(x)=\dfrac{1}{(1+x)^2}$ .

Тогда a_n - интегральная сумма функции f(x) на разбиении отрезка [0;1] .

Значит, $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\int\limits_0^1\dfrac{1}{(1+x)^2}dx=\left(-\dfrac{1}{1+x}\right)\Big |_0^1=-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}$ .

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

kz2388

03.05.2022 11:10

Разложить дробь на сумму дробей -1/x(x^2+1)...

катя4799

03.05.2022 11:10

Выразить нужно в кв .м.! вот сам пример: (5670кв.см-6700000 кв.см)а потом делить на 1000...

Danil1214d

03.05.2022 11:10

На земном шаре живёт 6.820.000.000 человек. каждый четвёртый -китаец . сколько китайцев на земном шаре?...

KatyaCat69

03.05.2022 11:10

Обьясните что означают выражения. пешеход 20 минут шел со скоростью 60м\мин и 30 минут со скоростью 50м\мин 60*20 50*30 60*20+50*30 50*30-60*20...

vava15

03.05.2022 11:10

Дроби к наименьшему общему знаменателю: 1)1/6 и 2/5,2)5/9 и 7/18,3)9/14 и 6/74)1/5 и7/25,5)1/2и 1/3,6) 2/5 и 3/7,7)2/11 и 1/3,8)5/8 и 1/6,9)5/12 и 3/8...

ПРИВЕТ174rus

03.05.2022 11:10

Продавец овощей разрезала тыкву на 6 одинаковых частей и одну шестую часть продала.сколько кг.тыквы осталось,если вся тыква весила 12 кг.напишите обратную решение12: 6=2кг - это одна...

kilala00

03.05.2022 11:10

Есть квадрат с длиной стороны 25 мм. найди его периметр и вырази его в сантиметрах! заранее большое !...

Vados2002k

03.05.2022 11:10

Два поезда едут навстречу друг другу из двух городов первый поезд довстречи 78 км а второй в 3 раза больше чем первый. чему равна длина пути между этими ? на сколько километров меньше...

Audika

03.05.2022 11:10

В3 одинаковых банках засолили 12 кг помидоров.сколько потребуется таких банок. чтобы засолить 24 кг помидоров....

Gohanhik

05.06.2023 20:51

Моему младшему брату подарили вес и он начал взвешивать свои игрушки.машину уравновесили мяч и два кубика, а машину с кубиком два мяча,сколько кубиков уравновешивают машину? (все мячи...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку