Чтобы найти стационарные точки для функции z=x^3+y^3−x^2+y^2, нужно найти значения x и y, при которых частные производные функции по x и y равны нулю.
Для начала найдем частную производную функции по x:
∂z/∂x = 3x^2 - 2x
Затем найдем частную производную функции по y:
∂z/∂y = 3y^2 + 2y
Чтобы найти стационарные точки, приравняем обе частные производные к нулю и решим полученные уравнения:
3x^2 - 2x = 0
3y^2 + 2y = 0
Решим первое уравнение:
3x^2 - 2x = x(3x - 2) = 0
Здесь видно два возможных значения x: x = 0 и x = 2/3.
Решим второе уравнение:
3y^2 + 2y = y(3y + 2) = 0
Здесь видно два возможных значения y: y = 0 и y = -2/3.
Теперь у нас есть четыре возможные стационарные точки: (0, 0), (2/3, 0), (0, -2/3) и (2/3, -2/3).
Итак, верным множеством стационарных точек для функции z=x^3+y^3−x^2+y^2 являются эти четыре точки: (0, 0), (2/3, 0), (0, -2/3) и (2/3, -2/3).
Обратите внимание, что мы решили уравнения, приравняв частные производные к нулю, потому что стационарные точки функции - это точки, где кривые уровня функции пересекаются с осями координат. В этих точках градиент функции равен нулю, что указывает на отсутствие изменения функции по направлениям осей координат, то есть функция имеет экстремум или точку перегиба в этих точках.
Для начала найдем частную производную функции по x:
∂z/∂x = 3x^2 - 2x
Затем найдем частную производную функции по y:
∂z/∂y = 3y^2 + 2y
Чтобы найти стационарные точки, приравняем обе частные производные к нулю и решим полученные уравнения:
3x^2 - 2x = 0
3y^2 + 2y = 0
Решим первое уравнение:
3x^2 - 2x = x(3x - 2) = 0
Здесь видно два возможных значения x: x = 0 и x = 2/3.
Решим второе уравнение:
3y^2 + 2y = y(3y + 2) = 0
Здесь видно два возможных значения y: y = 0 и y = -2/3.
Теперь у нас есть четыре возможные стационарные точки: (0, 0), (2/3, 0), (0, -2/3) и (2/3, -2/3).
Итак, верным множеством стационарных точек для функции z=x^3+y^3−x^2+y^2 являются эти четыре точки: (0, 0), (2/3, 0), (0, -2/3) и (2/3, -2/3).
Обратите внимание, что мы решили уравнения, приравняв частные производные к нулю, потому что стационарные точки функции - это точки, где кривые уровня функции пересекаются с осями координат. В этих точках градиент функции равен нулю, что указывает на отсутствие изменения функции по направлениям осей координат, то есть функция имеет экстремум или точку перегиба в этих точках.