2y''-y'-y=e^x+sinx
решить дифф уравнение

Пошаговое объяснение:

2y'' - y' - y = e^x + sin x

Характеристическое уравнение

2k^2 - k - 1 = 0

(k - 1)(2k + 1) = 0

k1 = 1; k2 = -1/2

Решение однородного уравнения:

y0 = C1*e^x + C2*e^(-x/2)

Теперь решаем неоднородное уравнение.

Правая часть f(x) = e^x + sin x

Неоднородная часть решения:

y* = Axe^x + Bsin x + Ccos x

y* ' = Ae^x + Axe^x + Bcos x - Csin x

y* '' = Ae^x + Ae^x + Axe^x - Bsin x - Ccos x = 2Ae^x + Axe^x - Bsin x - Ccos x

Подставляем в уравнение

2(2Ae^x + Axe^x - Bsin x - Ccos x) - (Ae^x + Axe^x + Bcos x - Csin x) -

- (Axe^x + Bsin x + Ccos x) = e^x + sin x

4Ae^x + 2Axe^x - 2Bsin x - 2Ccos x - Ae^x - Axe^x - Bcos x + Csin x -

- Axe^x - Bsin x - Ccos x = e^x + sin x

e^x*(4A-A) + xe^x*(2A-A-A) + sin x*(-2B+C-B) + cos x*(-2C-B-C) = e^x + sin x

3A*e^x + 0*xe^x + (-3B+C)*sin x + (-B-3C)*cos x = e^x + sin x

Составляем систему:

{ 3A = 1

{ -3B + C = 1

{ -B - 3C = 0

Решаем:

{ A = 1/3

{ -9B + 3C = 3

{ -B - 3C = 0

Получаем:

{ A = 1/3

{ B = -3/10 = -0,3

{ C = -B/3 = 1/10 = 0,1

Неоднородная часть решения:

y* = Axe^x + Bsin x + Ccos x = x/3*e^x - 0,3sin x + 0,1cos x

Полное решение:

y = y0 + y* = C1*e^x + C2*e^(-x/2) + x/3*e^x - 0,3sin x + 0,1cos x