Для нахождения производной функции z = 6x^2y в направлении вектора a⃗ = {4;3} используется формула производной по направлению:
Df(a⃗ ) = (∂f/∂x) * ax + (∂f/∂y) * ay
где ax и ay - компоненты вектора a⃗.
Сначала найдем частные производные функции z = 6x^2y по переменным x и y. Для этого применим правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования по переменной:
Df(a⃗ ) = (∂f/∂x) * ax + (∂f/∂y) * ay
где ax и ay - компоненты вектора a⃗.
Сначала найдем частные производные функции z = 6x^2y по переменным x и y. Для этого применим правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования по переменной:
∂f/∂x = ∂/∂x(6x^2y) = 12xy
∂f/∂y = ∂/∂y(6x^2y) = 6x^2
Теперь подставим найденные значения в формулу для производной по направлению:
Df(a⃗ ) = (∂f/∂x) * ax + (∂f/∂y) * ay
= (12xy) * 4 + (6x^2) * 3
Осталось только упростить выражение:
Df(a⃗ ) = 48xy + 18x^2
Таким образом, производная функции z = 6x^2y в направлении вектора a⃗ = {4;3} равна 48xy + 18x^2.