Определи, при каких значениях b прямая, заданная формулой y=b, и график функции y=9x−20+2|x−4|−x2 будут иметь ровно три общие точки. Построй график функции и эту прямую, отметь точки пересечения и запиши значения, которые может принимать параметр b.
Для определения при каких значениях b прямая и график функции имеют ровно три общие точки, нам необходимо решить уравнение, которое получается при приравнивании функции к прямой.
Уравнение графика функции y=9x−20+2|x−4|−x^2 можно переписать в более удобной форме, разделив его на два случая в зависимости от значения x:
- когда x ≥ 4, уравнение примет вид: y=9x−20+2(x−4)−x^2
- когда x < 4, уравнение примет вид: y=9x−20+2(4−x)−x^2
Теперь проведем анализ для каждого случая.
1. При x ≥ 4:
Для нахождения точек пересечения графика функции y=9x−20+2|x−4|−x^2 и горизонтальной прямой y=b, приравниваем уравнение функции к b и решаем полученное уравнение:
9x−20+2(x−4)−x^2 = b
Раскрываем скобки и приводим подобные члены:
9x−20+2x−8−x^2 = b
Объединяем слагаемые и приводим подобные члены в уравнении квадратной функции:
x^2−7x+(28−b) = 0
Для того, чтобы график функции имел ровно три общие точки с прямой, дискриминант уравнения должен быть равен нулю:
D = b^2−4ac = (-7)^2−4(1)(28−b) = 0
Решаем полученное квадратное уравнение относительно b:
Таким образом, при x ≥ 4, прямая y=b будет иметь ровно три общие точки с графиком функции при b = 63/4.
2. При x < 4:
Аналогично находим уравнение для случая x < 4:
9x−20+2(4−x)−x^2 = b
9x−20+8−2x−x^2 = b
-x^2+7x−12 = b
Дискриминант этого уравнения должен равняться нулю:
D = b^2−4ac = 7^2−4(-1)(12−b) = 0
Решаем полученное уравнение относительно b:
49+48−4(-12+b) = 0
97+4b = 0
4b = -97
b = -97/4
Таким образом, при x < 4, прямая y=b будет иметь ровно три общие точки с графиком функции при b = -97/4.
Для того чтобы построить график функции и прямой, запишем полученные значения b:
- Когда x ≥ 4, b = 63/4
- Когда x < 4, b = -97/4
Используя полученные значения b, мы можем построить график функции y=9x−20+2|x−4|−x^2 и прямую y=b на координатной плоскости, отметив три точки пересечения для каждого случая.
Уравнение графика функции y=9x−20+2|x−4|−x^2 можно переписать в более удобной форме, разделив его на два случая в зависимости от значения x:
- когда x ≥ 4, уравнение примет вид: y=9x−20+2(x−4)−x^2
- когда x < 4, уравнение примет вид: y=9x−20+2(4−x)−x^2
Теперь проведем анализ для каждого случая.
1. При x ≥ 4:
Для нахождения точек пересечения графика функции y=9x−20+2|x−4|−x^2 и горизонтальной прямой y=b, приравниваем уравнение функции к b и решаем полученное уравнение:
9x−20+2(x−4)−x^2 = b
Раскрываем скобки и приводим подобные члены:
9x−20+2x−8−x^2 = b
Объединяем слагаемые и приводим подобные члены в уравнении квадратной функции:
x^2−7x+(28−b) = 0
Для того, чтобы график функции имел ровно три общие точки с прямой, дискриминант уравнения должен быть равен нулю:
D = b^2−4ac = (-7)^2−4(1)(28−b) = 0
Решаем полученное квадратное уравнение относительно b:
49−4(28−b) = 0
49−112+4b = 0
-63+4b = 0
4b = 63
b = 63/4
Таким образом, при x ≥ 4, прямая y=b будет иметь ровно три общие точки с графиком функции при b = 63/4.
2. При x < 4:
Аналогично находим уравнение для случая x < 4:
9x−20+2(4−x)−x^2 = b
9x−20+8−2x−x^2 = b
-x^2+7x−12 = b
Дискриминант этого уравнения должен равняться нулю:
D = b^2−4ac = 7^2−4(-1)(12−b) = 0
Решаем полученное уравнение относительно b:
49+48−4(-12+b) = 0
97+4b = 0
4b = -97
b = -97/4
Таким образом, при x < 4, прямая y=b будет иметь ровно три общие точки с графиком функции при b = -97/4.
Для того чтобы построить график функции и прямой, запишем полученные значения b:
- Когда x ≥ 4, b = 63/4
- Когда x < 4, b = -97/4
Используя полученные значения b, мы можем построить график функции y=9x−20+2|x−4|−x^2 и прямую y=b на координатной плоскости, отметив три точки пересечения для каждого случая.