1) На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 32 учеников класса читал книги А, В и С. Результаты опроса оказались таковы: книгу А читали 16
учеников, книгу В – 15, книгу С – 12. Хотя бы одну из книг А или В читали 24
ученика, А или С – 23, В или С – 22. Все три книги прочли 2 ученика. Хотя бы
одну книгу прочел каждый ученик. Поразмыслив, учитель понял, что не все
школьники сказали правду. Как учитель понял, что сообщенные ему сведения
неверны?
2)Из 10 человек, занимающихся в секции, тренер должен отобрать четырех
человек, для участия в соревновании. Сколькими он может это
сделать?
1) Для решения этой задачи воспользуемся методом включений-исключений. Мы знаем, сколько учеников прочитали каждую книгу, и количество учеников, которые прочитали хотя бы одну из книг.
Пусть A, B и C - множества учеников, прочитавших книги А, В и С соответственно. Нам известно:
|A| = 16, |B| = 15, |C| = 12, |A∪B| ≥ 24, |A∪C| ≥ 23, |B∪C| ≥ 22, |A∪B∪C| = 2.
Мы хотим узнать, какими свойствами должны обладать множества A, B и C.
Используя метод включений-исключений, мы можем записать следующее:
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|.
Заменим известные значения в этом уравнении:
2 = 16 + 15 + 12 - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|.
Раскроем скобки:
2 = 43 - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|.
Теперь мы можем записать значения, известные из условия:
2 = 43 - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + 2.
Перенесем все известные значения на одну сторону уравнения:
|A∩B| + |A∩C| + |B∩C| = 43 - 2 - 2 = 39.
Заметим, что |A∩B| + |A∩C| + |B∩C| представляет собой количество учеников, которые не сказали правду о прочитанных ими книгах.
Таким образом, учитель понял, что сообщенные ему сведения неверны, так как сумма количества учеников, которые не читали книги А, В или С, превышает 39.
2) Для решения этой задачи мы можем использовать формулу сочетаний. Чтобы найти количество способов отобрать 4 человека из 10, мы можем использовать формулу сочетаний:
C(10, 4) = 10! / (4!(10-4)!) = 10! / (4! * 6!).
Раскроем факториалы:
C(10, 4) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6!) / (4! * 6!) = (10 * 9 * 8 * 7) / (4 * 3 * 2 * 1) = 210.
Таким образом, тренер может отобрать 4 человека для участия в соревновании 210 способами.