Шаг 2: Найдем критические точки функции, то есть значения x, для которых f'(x) = 0. Решим уравнение:
3x^2 + 6x - 9 = 0
Для удобства, разделим каждый член на 3:
x^2 + 2x - 3 = 0
Факторизуем уравнение:
(x + 3)(x - 1) = 0
Решим получившиеся уравнения:
x + 3 = 0 => x = -3
x - 1 = 0 => x = 1
Таким образом, мы нашли две критические точки x = -3 и x = 1.
Шаг 3: Для определения интервалов возрастания и убывания функции, мы строим таблицу знаков производной. Подставляем в f'(x) поочередно значения, лежащие слева и справа от критических точек.
Точка | x < -3 | -3 < x < 1 | x > 1
-------------------------------------------------
f'(x) | + | - | +
Таким образом, на интервалах (-∞, -3) и (1, +∞) функция f(x) возрастает, а на интервале (-3, 1) она убывает.
Итак, интевалы возрастания функции f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 2 это (-∞, -3) и (1, +∞), а интервалы убывания (-3, 1).
Шаг 1: Найдем производную функции f'(x). Для этого применим правило дифференцирования для каждого члена функции по отдельности:
f'(x) = (d/dx)x^3 + (d/dx)3x^2 + (d/dx)(-9x) + (d/dx)2
f'(x) = 3x^2 + 6x - 9
Шаг 2: Найдем критические точки функции, то есть значения x, для которых f'(x) = 0. Решим уравнение:
3x^2 + 6x - 9 = 0
Для удобства, разделим каждый член на 3:
x^2 + 2x - 3 = 0
Факторизуем уравнение:
(x + 3)(x - 1) = 0
Решим получившиеся уравнения:
x + 3 = 0 => x = -3
x - 1 = 0 => x = 1
Таким образом, мы нашли две критические точки x = -3 и x = 1.
Шаг 3: Для определения интервалов возрастания и убывания функции, мы строим таблицу знаков производной. Подставляем в f'(x) поочередно значения, лежащие слева и справа от критических точек.
Точка | x < -3 | -3 < x < 1 | x > 1
-------------------------------------------------
f'(x) | + | - | +
Таким образом, на интервалах (-∞, -3) и (1, +∞) функция f(x) возрастает, а на интервале (-3, 1) она убывает.
Итак, интевалы возрастания функции f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 2 это (-∞, -3) и (1, +∞), а интервалы убывания (-3, 1).