Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 1.7 и стандартным отклонением 4. а) Какова вероятность попадания такой случайной величины в интервал (1; 2)? б) Покажите математическое ожидание и вычисленную вероятность на графике плотности этого нормального распределения
а) Для решения задачи нам потребуется использовать таблицу стандартного нормального распределения или калькулятор, способный рассчитывать значения функции стандартного нормального распределения (например, Excel или онлайн-калькуляторы).
Итак, чтобы вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 2), мы сначала стандартизируем значения 1 и 2 с помощью формулы стандартизации Z = (X - μ) / σ, где X - значение случайной величины, μ - математическое ожидание и σ - стандартное отклонение.
Для значения 1: Z = (1 - 1.7) / 4 = -0.175
Для значения 2: Z = (2 - 1.7) / 4 = 0.075
Теперь нам нужно найти вероятность того, что случайная величина будет находиться между стандартизированными значениями -0.175 и 0.075. Мы будем искать эту вероятность в таблице стандартного нормального распределения или в калькуляторе.
Применяя таблицу или калькулятор, мы находим, что вероятность составляет приблизительно 0.0754 или 7.54%.
б) Чтобы показать математическое ожидание и график плотности нормального распределения, нам понадобится график плотности функции нормального распределения, также известный как кривая Гаусса.
Формула плотности нормального распределения записывается как f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp^(-((x - μ)^2) / (2σ^2)), где x - значение случайной величины, μ - математическое ожидание и σ - стандартное отклонение.
В нашем случае, μ = 1.7 и σ = 4. Подставим эти значения в формулу и построим график.
По вертикальной оси графика будет откладываться значение плотности вероятности, а по горизонтальной оси - значения случайной величины. С помощью графика можно визуально оценить, какие значения более вероятны и какова вероятность их появления.
Ответ:
а) Вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 2) составляет примерно 7.54%.
б) График плотности нормального распределения с математическим ожиданием 1.7 и стандартным отклонением 4 позволяет визуально оценить вероятность разных значений случайной величины.