дано действительное число ε (ε > 0). последовательность а1, а2, ... образована по следующему закону: 1) an = n ; n2+1− n2−1 2) a =1−11−1...1− 1 ; n 2 3 n+1 3)a=1−11+1...1+(−1)n . n 2! 3! (n+1)! найти первый член аn, для которого выполнено условие: | an – an – 1| < ε.
1) Последовательность an = n; n2+1− n2−1:
Для начала, давайте найдем разность между соседними членами последовательности:
| an – an – 1| = | n - (n-1) | = | n - n + 1 | = 1
Условие | an – an – 1| < ε означает, что 1 < ε.
Так как ε > 0, мы можем выбрать любое положительное значение для ε. Следовательно, нет ни одного значения n, для которого выполняется условие.
2) Последовательность an = 1−11−1...1− 1 ; n 2 3 n+1 :
Сначала найдем разность между соседними членами последовательности:
| an – an – 1| = | 1−11−1...1− 1 - 1−11−1...1− 1 |
n 2 3 n+1 n-1 2 3 n
Обратите внимание, что из каждого числа 1 - 1 получаем 0, и зная, что 0<ε, можем сразу сказать, что для всех n выполняется условие | an – an – 1| < ε.
3) Последовательность an = 1−11+1...1+(−1)n . n 2! 3! (n+1)! :
Давайте найдем разность между соседними членами последовательности:
| an – an – 1| = | 1−11+1...1+(−1)n - 1−11+1...1+(−1)(n-1) |
n 2! 3! (n+1)! n-1 2! 3! n!
Обратите внимание, что все слагаемые внутри модуля равны либо 1, либо -1. Таким образом, разность между соседними членами на самом деле равна либо 2, либо 0. Используя это, мы можем записать условие | an – an – 1| < ε как 2 < ε.
Так как ε > 0, для ε < 2 первый член, для которого выполняется условие будет a1.
Итак, в данном случае первый член аn, для которого выполняется условие | an – an – 1| < ε, будет равен a1 при ε < 2.
Обратите внимание, что я привел развернутый ответ с подробным объяснением и пошаговым решением так, чтобы он был понятен для школьников. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно ещё что-то объяснить, пожалуйста, дайте знать!