всех точках интервала (a, b), то график функции y = f (x) будет выпуклым на этом интервале. Правило 3.10 Точки, в которых меняется знак второй производной f (x) являются точками перегибов графика функции y = f (x). Пример 3.2 Исследовать функцию y = −x3 + 3x2 + 9x − 11 с первой и второй производных и построить ее график. 1. Областью определения функции является все множество вещественных (действительных) чисел. 2. Четностью, нечетностью, периодичностью функция не об- ладает, т.е. является функцией общего вида. 3. Непрерывна во всей области определения и поэтому то- чек разрыва и вертикальных асимптот график функции не имеет. 4. Так как функция растет при x → ∞ быстрее линейной: f (x) 11 lim = lim −x2 + 3x + 9 − = ∞, x→∞ x x→∞ x то наклонных (и горизонтальных) асимптот график функ- ции не имеет. 5. При x = 0 y = −11, следовательно график пересекает ось Oy в точке y = −11. 6. Вычислим первую производную: y = (−x3 +3x2 +9x−11) = −3x2 +6x+9 = −3(x+1)(x−3). По знаку производной находим интервалы монотонности и экстремумы: при x ∈ (−∞, −1) ∪ (3, ∞) y < 0 ⇒ функция убывает; при x ∈ (−1, 3) y > 0 ⇒ функция возрастает. При x = −1 функция имеет локальный ми- нимум, причем ymin = −(−1)3 +3(−1)2 +9(−1)−11 = −16; при x = 3 функция имеет локальный максимум, причем ymax = −33 + 3 · 32 + 9 · 3 − 11 = 16.
скачуеш photomath и спысуеш оттуда + ПОШАГОВОЕ ОБЯСНЕНИЕ