Добрый день! Для определения промежутков возрастания и убывания функции, нам необходимо проанализировать их производные.
1. Рассмотрим функцию f(x) = x^2 - 6x + 2.
Для начала необходимо найти производную данной функции. Производная функции будет выглядеть следующим образом: f'(x) = 2x - 6.
Теперь нам нужно найти точки, где производная равна нулю. Решаем уравнение 2x - 6 = 0:
2x = 6, x = 3.
Подставим найденную точку в производную и проверим ее знак.
f'(2) = 2(3) - 6 = 0.
Отсюда следует, что функция имеет горизонтальную асимптоту при x = 3.
Теперь рассмотрим интервалы между точками.
a) Если x < 3, то f'(x) < 0. Это означает, что функция f(x) убывает на интервале (-∞, 3).
b) Если x > 3, то f'(x) > 0. Это означает, что функция f(x) возрастает на интервале (3, +∞).
2. Рассмотрим функцию f(x) = 5 + x / (x - 3).
Опять же, сначала найдем производную функции: f'(x) = (x - 3 - x) / (x - 3)^2 = -3 / (x - 3)^2.
Так как числитель равен константе, у нас нет точки, где производная равна нулю.
Теперь рассмотрим интервалы.
a) Если x < 3, то f'(x) < 0. Это означает, что функция f(x) убывает на интервале (-∞, 3).
b) Если x > 3, то f'(x) > 0. Это означает, что функция f(x) возрастает на интервале (3, +∞).
3. Рассмотрим функцию f(x) = 5 - x.
Производная данной функции равна -1, так как константа 5 не влияет на изменение функции.
Таким образом, функция f(x) всегда убывает на всей числовой прямой.
Надеюсь, что я смог ясно и подробно объяснить вам процесс определения промежутков возрастания и убывания для данных функций. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!
1. Рассмотрим функцию f(x) = x^2 - 6x + 2.
Для начала необходимо найти производную данной функции. Производная функции будет выглядеть следующим образом: f'(x) = 2x - 6.
Теперь нам нужно найти точки, где производная равна нулю. Решаем уравнение 2x - 6 = 0:
2x = 6, x = 3.
Подставим найденную точку в производную и проверим ее знак.
f'(2) = 2(3) - 6 = 0.
Отсюда следует, что функция имеет горизонтальную асимптоту при x = 3.
Теперь рассмотрим интервалы между точками.
a) Если x < 3, то f'(x) < 0. Это означает, что функция f(x) убывает на интервале (-∞, 3).
b) Если x > 3, то f'(x) > 0. Это означает, что функция f(x) возрастает на интервале (3, +∞).
2. Рассмотрим функцию f(x) = 5 + x / (x - 3).
Опять же, сначала найдем производную функции: f'(x) = (x - 3 - x) / (x - 3)^2 = -3 / (x - 3)^2.
Так как числитель равен константе, у нас нет точки, где производная равна нулю.
Теперь рассмотрим интервалы.
a) Если x < 3, то f'(x) < 0. Это означает, что функция f(x) убывает на интервале (-∞, 3).
b) Если x > 3, то f'(x) > 0. Это означает, что функция f(x) возрастает на интервале (3, +∞).
3. Рассмотрим функцию f(x) = 5 - x.
Производная данной функции равна -1, так как константа 5 не влияет на изменение функции.
Таким образом, функция f(x) всегда убывает на всей числовой прямой.
Надеюсь, что я смог ясно и подробно объяснить вам процесс определения промежутков возрастания и убывания для данных функций. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!