Материальная точка находится в линейном движении по закону s (t) = 12t²-2 / 3t³ (где s (t) - это путь в метрах, а t - время в секундах). В какой момент времени [4, 10] скорость точки максимальна и какова величина этой скорости?
Для решения задачи нам понадобится определить скорость материальной точки, а затем найти момент времени, в котором эта скорость будет максимальной.
Скорость - это производная от пути по времени. Для нахождения скорости точки найдем производную от закона движения s(t):
s(t) = 12t² - 2/3t³
Чтобы взять производную, воспользуемся правилами дифференцирования. Для суммы и разности функций правило такое же, как и для их слагаемых и вычитаемых дифференциалов:
Теперь нам нужно найти момент времени, в котором скорость максимальна. Для этого найдем момент времени, когда производная равна нулю, и проверим, является ли это точкой максимума или минимума.
24t - 2t² = 0
2t(12 - t) = 0
Так как 2t не равно нулю, то уравнение будет равно нулю, только если (12 - t) = 0
12 - t = 0
t = 12
Полученное значение t = 12 - это потенциальный момент времени, в котором скорость может быть максимальной. Однако нам также необходимо проверить, является ли это точкой максимума или минимума. Для этого возьмем вторую производную:
Скорость - это производная от пути по времени. Для нахождения скорости точки найдем производную от закона движения s(t):
s(t) = 12t² - 2/3t³
Чтобы взять производную, воспользуемся правилами дифференцирования. Для суммы и разности функций правило такое же, как и для их слагаемых и вычитаемых дифференциалов:
s(t) = 12t² - 2/3t³
s'(t) = (12t²)' - (2/3t³)'
s'(t) = 24t - 2/3 * 3t²
s'(t) = 24t - 2t²
Теперь нам нужно найти момент времени, в котором скорость максимальна. Для этого найдем момент времени, когда производная равна нулю, и проверим, является ли это точкой максимума или минимума.
24t - 2t² = 0
2t(12 - t) = 0
Так как 2t не равно нулю, то уравнение будет равно нулю, только если (12 - t) = 0
12 - t = 0
t = 12
Полученное значение t = 12 - это потенциальный момент времени, в котором скорость может быть максимальной. Однако нам также необходимо проверить, является ли это точкой максимума или минимума. Для этого возьмем вторую производную:
s''(t) = (s'(t))'
s''(t) = (24t - 2t²)'
s''(t) = 24 - 4t
Если вторая производная положительна, то это будет точка минимума, если отрицательна - точка максимума. Вычислим вторую производную в точке t = 12:
s''(12) = 24 - 4 * 12
s''(12) = 24 - 48
s''(12) = -24
Полученное значение отрицательно, поэтому точка t = 12 является точкой максимума скорости.
Теперь найдем величину скорости в этой точке. Для этого подставим найденное значение t = 12 в первую производную:
s'(t) = 24t - 2t²
s'(12) = 24 * 12 - 2 * 12²
s'(12) = 288 - 2 * 144
s'(12) = 288 - 288
s'(12) = 0
Следовательно, величина скорости в момент времени t = 12 равна нулю.
Таким образом, в момент времени t = 12 скорость точки максимальна и равна нулю.