У нас есть данный уравнение прямой: 5x - 12y + 4 = 0 и центр окружности (2;-1). Мы должны найти уравнение окружности, касательной к этой прямой.
1. Чтобы прямая была касательной к окружности, расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно радиусу окружности.
2. Радиус окружности можно найти по формуле: r = √((x - a)² + (y - b)²), где (a; b) - координаты центра окружности, а (x; y) - координаты любой точки на окружности.
3. Подставим координаты центра окружности в формулу: r = √((x - 2)² + (y - (-1))²), которая упрощается до r = √((x - 2)² + (y + 1)²).
4. Теперь нужно найти расстояние от прямой до центра окружности при помощи формулы: d = |Ax + By + C| / √(A² + B²), где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой 5x - 12y + 4 = 0.
5. Подставим значения коэффициентов A, B и C в формулу: d = |5*2 + (-12)*(-1) + 4| / √((5)² + (-12)²), после упрощения получим d = |10 + 12 + 4| / √(25 + 144), что равносильно d = |26| / √169.
6. Расстояние d равно радиусу окружности r: |26| / √169 = r.
7. Преобразуем уравнение, чтобы избавиться от знака модуля: 26 / √169 = r.
8. Упростим: 26 / 13 = r.
Таким образом, уравнение окружности с центром в точке (2;-1) и радиусом r = 2 имеет вид: (x - 2)² + (y + 1)² = 4.
Надеюсь, это решение понятно и полезно для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
Пошаговое объяснение:
Уравнение окружности с центром в точке (
,
) радиуса r выглядит так:
Радиус в анном случае ищется как расстояние от точки до прямой(касательной)
Подставляем известную точку в уравнение окружности и записываем ответ
У нас есть данный уравнение прямой: 5x - 12y + 4 = 0 и центр окружности (2;-1). Мы должны найти уравнение окружности, касательной к этой прямой.
1. Чтобы прямая была касательной к окружности, расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно радиусу окружности.
2. Радиус окружности можно найти по формуле: r = √((x - a)² + (y - b)²), где (a; b) - координаты центра окружности, а (x; y) - координаты любой точки на окружности.
3. Подставим координаты центра окружности в формулу: r = √((x - 2)² + (y - (-1))²), которая упрощается до r = √((x - 2)² + (y + 1)²).
4. Теперь нужно найти расстояние от прямой до центра окружности при помощи формулы: d = |Ax + By + C| / √(A² + B²), где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой 5x - 12y + 4 = 0.
5. Подставим значения коэффициентов A, B и C в формулу: d = |5*2 + (-12)*(-1) + 4| / √((5)² + (-12)²), после упрощения получим d = |10 + 12 + 4| / √(25 + 144), что равносильно d = |26| / √169.
6. Расстояние d равно радиусу окружности r: |26| / √169 = r.
7. Преобразуем уравнение, чтобы избавиться от знака модуля: 26 / √169 = r.
8. Упростим: 26 / 13 = r.
Таким образом, уравнение окружности с центром в точке (2;-1) и радиусом r = 2 имеет вид: (x - 2)² + (y + 1)² = 4.
Надеюсь, это решение понятно и полезно для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!