Войти Регистрация Спроси ai-bota

На кривой найдите точку, расстояние от которой до точки m(1; -1) будет наименьшим

Ответ:

nurasylmahambet

18.06.2020 06:38

Расстояние от точки до точки вычисляется по формуле

$\sqrt{(x_1^2-x_2^2)+(y_1^2-y_2^2)}$

В данном случае пусть $(x_1;\,y_1)$ - точка на параболе, а $(x_2;\,y_2)$ сама точка М (1, -1).

Заметим, что так как первая точка лежит на параболе, то согласно уравнению параболы эта точка принимает вид $(x;\,x-x^2)$

Теперь заново запишем расстояние, исходя из вышесказанного

$\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2-(-1))^2}=\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}$

Чтобы это расстояние было наименьшим, надо взять от него производную и приравнять ее к нулю. Найти точки минимума - это и будет абсциссой параболы.
$(\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2})'=\frac{2(x-1)+2(x-x^2+1)*(1-2x)}{2\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}}=$

Сократим числитель и знаменатель на 2.

$=\frac{(x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)}{\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}}$

Теперь приравняем к нулю числитель дроби. То есть фактически приравняем к нулю производную

(x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)=0

(x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)=0

Раскроем скобки

x-1+x-x^2+1-2x^2+2x^3-2x=0

x-1+x-x^2+1-2x^2+2x^3-2x=0

Заметим, что все свободные члены сокращаются

x+x-x^2-2x^2+2x^3-2x=0

x+x-x^2-2x^2+2x^3-2x=0

Также сокращаются все члены при х.

-x^2-2x^2+2x^3=0

-x^2-2x^2+2x^3=0

-3x^2+2x^3=0

x^2(-3+2x)=0

x_1=0

-3+2x_2=0

2x_2=3

x_2=1,5

Теперь найдем точку минимума. Сама производная, как видно, меняет знак вместе с многочленом в числителе -3x^2+2x^3

-3x^2+2x^3

. Обозначим ее за g(x)=-3x^2+2x^3

g(x)=-3x^2+2x^3

.

g(-1)=-3-2=-5<0,

g(1)=-3+2=-1<0

g(2)=-3*4+16=40

Как видно, точка х=1,5 - является минимумом функции расстояния.

Чтобы найти у, надо подставить х=1,5 в уравнение параболы

y=1,5-1,5^2

y=1,5-1,5^2

y=1,5-2,25

y=-0,75

Значит точкой самой близкой к М на параболе является точка (1,5; -0,75).

ответ: (1,5; -0,75).

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

лсоаоа

06.06.2020 18:25

Запиши значення x яких нерівність 413 x 424буде правильною і які кратні числу 2....

Gok67

25.10.2022 18:33

Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, основание равно 6 см. Чему равны 2 другие стороны треугольника...

Violetta2004w

17.07.2021 01:10

Тікбұрыш 1)толық бұрыштың 2)жазыңқы бұрыш қандай бөлігін құрайды?...

politovatanya1

22.07.2020 15:25

6 000 000 000 000 000+5 000 000 000 000 000...

domnet

27.01.2021 23:40

Шардың (сфераның) радиусы 5-ке тең. Шар бетінің ауданын табыңыздар....

ElenaFevralV

06.03.2021 08:32

два пешехода, находившиеся на расстоянии 50м.Движутся в противоположных направлениях. Один из них идёт со скоростью 1 целая 3/5 м/с,а скорость второго состовляет 75% скорости...

Mary1708

31.08.2020 20:18

9. Найдите значение выражения: 1) 4,57 + 12,16 + 3,8;3) 126,19 – 14,4 + 3,023;2) 19,25 + 1,7 - 20,012; 4) 17,618 + 23 + 58,98.Встолбик...

Вирс123

07.03.2022 12:41

периметр треугольника 63 см одна его сторона равна 18 см и она на 7 см меньше третьей стороны Найдите длину третьей стороны треугольника ...

люся4085

07.02.2023 08:26

З молока виходить 23% вершків. Скільки потрібно кілограмів молока,щоб одержати 115 кг вершків....

ааааааа59

01.12.2020 10:14

В трех коробках имеются шары. После того как из первой коробки во вторую переложили 7 шаров, в первой осталось12 шаров. Затем, когда из второй коробки переложили 3 шарав третью,...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку