Теорема. Около любого конуса можно описать сферу. Её центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника, являющегося осевым сечением конуса.
1) Так как радиус равен 6 см, то расстояние от центра окружности до всех трёх вершин треугольника, являющегося осевым сечением конуса, равно 6 см.
2) Центр описанной около треугольника окружности лежит на перпендикуляре, опущенном из вершины конуса, на основание, а т.к. угол при вершине равен 120°, то этот перпендикуляр делит угол при вершине на 2 угла, каждый из которых равен 60°, следовательно, в осевом сечении можно построить 2 равносторонних треугольника, в которых образующая является одной из сторон, в силу чего образующая равна радиусу окружности: L = 6 см.
Соответственно высота конуса равна 3 см (катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы).
3) По теореме Пифагора находим радиус основания конуса:
9π (3+2√3) cм²
Пошаговое объяснение:
Теорема. Около любого конуса можно описать сферу. Её центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника, являющегося осевым сечением конуса.
1) Так как радиус равен 6 см, то расстояние от центра окружности до всех трёх вершин треугольника, являющегося осевым сечением конуса, равно 6 см.
2) Центр описанной около треугольника окружности лежит на перпендикуляре, опущенном из вершины конуса, на основание, а т.к. угол при вершине равен 120°, то этот перпендикуляр делит угол при вершине на 2 угла, каждый из которых равен 60°, следовательно, в осевом сечении можно построить 2 равносторонних треугольника, в которых образующая является одной из сторон, в силу чего образующая равна радиусу окружности: L = 6 см.
Соответственно высота конуса равна 3 см (катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы).
3) По теореме Пифагора находим радиус основания конуса:
R = √(6² - 3²) = √(36-9) =√27 cм
4) Площадь основания конуса:
S₁ = πR² = π (√27)² = 27π
5) Площадь боковой поверхности конуса:
S₂ = πRL = π · √27 · 6 = π · 3√3 · 6 = 18π √3
6) Площадь полной поверхности конуса:
S = S₁ + S₂ = 27π + 18π√3 = 9π (3+2√3) cм²
ответ: 9π (3+2√3) cм²