В шестиламповом радиоприемнике, все лампы которого различны, перегорела одна лампа. Для устранения неисправности наудачу выбранную лампу заменяют заведомо годной из запасного комплекта, после чего проверяется работа приемника. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной Х- числа ламп. Найти числовые характеристики этой случайной величиины Х.
1. Рассмотрим количество возможных вариантов замены одной перегоревшей лампы. Так как у нас есть шесть ламп и одна из них перегорела, мы можем выбрать замену из пяти оставшихся ламп. Пусть это случайная величина X.
2. Построим таблицу распределения вероятностей для случайной величины X:
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
-----------------------------------
P(X) | 1/5 | 1/5 | 1/5 | 1/5 | 1/5
Где P(X) - вероятность того, что случайная величина X примет определенное значение.
3. Теперь построим функцию распределения случайной величины X. Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше или равное заданной величины.
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
-----------------------------------
F(X) | 1/5 | 2/5 | 3/5 | 4/5 | 1
Для вычисления функции распределения мы просто суммируем вероятности всех значений, меньших или равных текущему значению.
4. Найдем числовые характеристики случайной величины X.
- Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины X можно найти, умножив каждое значение Xi на соответствующую вероятность P(Xi) и сложив результаты:
E(X) = (1 * 1/5) + (2 * 1/5) + (3 * 1/5) + (4 * 1/5) + (5 * 1/5) = 15/5 = 3
- Дисперсия случайной величины X показывает разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсию можно вычислить, используя следующую формулу:
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2
Для этой задачи E(X^2) = (1^2 * 1/5) + (2^2 * 1/5) + (3^2 * 1/5) + (4^2 * 1/5) + (5^2 * 1/5) = 55/5 = 11
Тогда Var(X) = 11 - (3^2) = 11 - 9 = 2
Корень из дисперсии называется стандартным отклонением, которое в данном случае будет равно sqrt(2) ≈ 1.41
Таким образом, мы построили ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х, а также нашли числовые характеристики этой случайной величины.