Обчислити інтеграл від дробово-раціональних функцій
До іть з вирішенням

Обчислити інтеграл від дробово-раціональних функцій До іть з вирішенням

Ответ:

Лана200611

08.04.2021 15:21

$\int\limits\frac{xdx}{2 {x}^{2} - 3x - 2 } = \frac{1}{4} \int\limits \frac{4xdx}{2 {x}^{2} - 3x - 2} = \\ = \frac{1}{4} \int\limits \frac{4x - 3 + 3}{2 {x}^{2} - 3x - 2} = \\ = \frac{1}{4} \int\limits \frac{4x - 3}{2 {x}^{2} - 3x - 2 } + \frac{3}{4} \int\limits \frac{dx}{2 {x}^{2} - 3x - 2} = \\ = \frac{1}{4} \int\limits \frac{d(2 {x}^{2} - 3x - 2) }{2 {x}^{2} - 3x - 2} + \frac{3}{4} \int\limits \frac{dx}{ {( \sqrt{2}x) }^{2} - 2 \times \sqrt{2}x \times \frac{3}{2 \sqrt{2} } + \frac{9}{8} - \frac{25}{8} } = \\ = \frac{1}{4} ln |2 {x}^{2} - 3x - 2| + \frac{3}{4} \int\limits \frac{dx}{ {( \sqrt{2}x - \frac{3}{2 \sqrt{2} } ) }^{2} - {( \frac{5}{2 \sqrt{2} } )}^{2} } = \\ = \frac{1}{4} ln |2 {x}^{2} - 3x - 2| + \frac{3}{4} \times \frac{1}{ \sqrt{2} } \int\limits \frac{d( \sqrt{2} x - \frac{3}{2 \sqrt{2} } )}{ {( \sqrt{2}x - \frac{3}{2 \sqrt{2} } ) {}^{2} - {( \frac{5}{2 \sqrt{2} }) } }^{2} } = \\ = \frac{1}{4} ln |2 {x}^{2} - 3x - 2 | + \frac{3}{4 \sqrt{2} } \times \frac{1}{2 \times \frac{5}{2 \sqrt{2} } } ln | \frac{ \sqrt{2} x - \frac{3}{2 \sqrt{2} } - \frac{5}{2 \sqrt{2} } }{ \sqrt{2}x - \frac{3}{2 \sqrt{2} } + \frac{5}{2 \sqrt{2} } } | + C = \\ = \frac{1}{4} ln |2 {x}^{2} - 3x - 2| + \frac{3}{4 \sqrt{2} } \times \frac{ \sqrt{2} }{5} ln | \frac{ \sqrt{2} x - 2 \sqrt{2} }{ \sqrt{2} x + \frac{1}{ \sqrt{2} } } | + C= \\ = \frac{1}{4} ln |2 {x}^{2} - 3x - 2| + \frac{3}{20} ln | \frac{x - 4}{x + \frac{1}{2} } | + C$