Нужно решить! "тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=18t+3t^2 м/с. найти путь,пройденный телом от начала движения , до его остановки. ! !

В общем случае скорость - производная функция от координты.

Таким образом для нахождения пройденного пути надо найти интеграл от функции скорости на временном отрезке движения.

Проблема данной задачи состоит в том, что при положительных t функция скорости всегда больше 0, таким образом тело в буквальном смысле "не остановится".

Что-то не так в вашем условии... проверьте его и проинтегрируйте функцию на отрезке...