Найдите экстремумы функции f: [0; 3] -> r, f(x)=x^2+8/x+1 нужно подробное объяснение, ибо сколько не пытаюсь, не могу понять, что из чего вытекает и в какой очерёдности нужно это заранее .

Найти экстремумы значит найти точки в которых производная функции =0

вычисляем производную

 f(x)=x^2+8/x+1 = x^2 + 8*x^(-1) +1

(x^n)' = n*x^(n-1)

f'(x) = 2*x + 8*(-1)*x^(-2) = 2x - 8/x^2

приравниваем к 0

2x - 8/x^2 = 0  ==> (2x^3 - 8)/x^2 = 0 ==> 2x^3 - 8  = 0  ==> 2x^3 = 8  ==> x^3 = 4  ==>

==>  x = 2^(2/3) = 1.587

наша функция определена на отрезке [0;3]. Точка x=1.587 принадлежит этому отрезку.

Значит эта точка является точкой экстремума функции.