Известна функция y=f(x), где f(x)=x2+1.
Верно ли, что значение выражения f(ctg4x)=1/cos2(4x)?

Добрый день! Рассмотрим данный вопрос внимательно.

Исходя из условия, у нас дана функция f(x) = x^2 + 1.
Теперь нам нужно вычислить значение выражения f(ctg(4x)).

Первым шагом для решения этой задачи мы должны выразить ctg(4x) через x.

По определению сотангенса (ctg), мы знаем, что ctg(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sin(x).

Применяя это к нашему выражению ctg(4x), получим: ctg(4x) = 1/tan(4x) = cos(4x)/sin(4x).

Имея такое выражение для ctg(4x), мы можем подставить его вместо x в исходной функции f(x) = x^2 + 1. Получим:

f(ctg(4x)) = (ctg(4x))^2 + 1 = (cos(4x)/sin(4x))^2 + 1.

Теперь давайте упростим это выражение:

(cos^2(4x) + sin^2(4x))/(sin^2(4x)) + 1.

Согласно тригонометрическому тождеству cos^2(x) + sin^2(x) = 1, мы можем заменить числитель на 1:

1/(sin^2(4x)) + 1.

Теперь нам нужно выразить знаменатель sin^2(4x) через cos^2(4x). Для этого воспользуемся еще одним тригонометрическим тождеством, а именно: sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Заменим cos^2(4x) в выражении:

1/(1 - cos^2(4x)) + 1.

Зная, что cos^2(x) = 1 - sin^2(x), мы можем заменить знаменатель:

1/(1 - (1 - sin^2(4x))) + 1.

Упростим еще немного:

1/(1 - 1 + sin^2(4x)) + 1.

Теперь видим, что первые два слагаемых знаменателя сокращаются и мы получаем:

1/(sin^2(4x)) + 1.

Заметим, что это выражение идентично тому, что у нас получилось после подстановки ctg(4x) вместо x в исходной функции f(x).

Итак, мы доказали, что f(ctg(4x)) = 1/(cos^2(4x)), следовательно, данное утверждение верно.

Надеюсь, ответ был понятен и полноценен для вас. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.