Пусть множество S натуральных чисел такого, что для - вопрос №16581168 от nastyushanaumenko 28.04.2021 21:21

Question

Математика: Пусть множество S натуральных чисел такого, что для любых х,у из S верно, что х у, выполнено ху +2 106у-130х. Найдите максимальное количество элементов, которое может содержать S

nastyushanaumenko · Answer

Оценим максимальное значение, которое может принимать элемент множества . Предположим, что существуют хотя бы два элемента множества, больших 106 . Пусть это числа $m,\;n$ . Положим $x=m,\; y=n$ , тогда mn+2 , откуда . Противоречие. Значит, существует не более одного числа, большего

Теперь становится ясно, как строить множество. Пусть максимальное число равно 106 . Тогда следующее по величине число меньше $\frac{106x-2}{x+130}$ , где — текущее число (сейчас рассматривается максимальное число; оценка следует из исходного уравнения). То есть второе по величине число не превосходит $\frac{106\cdot 106-2}{106+130}\approx 47,6$ . Берем 47. Далее: $\frac{106\cdot 47-2}{47+130}\approx 28,1$ . Берем 28. И так далее. Получим множество $\{1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;12,\;18,\;28,\;47,\;106\}$ , состоящее из 11 элементов. Это и есть наш ответ.