В олимпиаде по иностранному языку принимало участие 40 студентов, им было предложено ответить на один вопрос по лексикологии,
один по страноведению и один по стилистике. Результаты проверки показали:
правильно ответили на вопросы по лексикологии 20 студентов, по
страноведению – 18, по стилистике – 18, по лексикологии и страноведению –
7, по лексикологии и стилистике – 8, по страноведению и стилистике – 9.
Известно также, что трое не дали правильных ответов ни на один вопрос.
Сколько студентов правильно ответили на все три вопроса? ровно на два
вопроса? ровно на один вопрос? только на вопрос по лексикологии? только на
вопрос по стилистике?
Пусть множество студентов, которые правильно ответили на вопросы по лексикологии, обозначим как A, множество студентов, которые правильно ответили на вопросы по страноведению, обозначим как B, множество студентов, которые правильно ответили на вопросы по стилистике, обозначим как C.
Также известно, что трое студентов не дали правильных ответов ни на один вопрос. Обозначим это множество как D.
Теперь разберемся с данными из условия:
- Количество студентов, которые правильно ответили на вопросы по лексикологии, равно |A| = 20.
- Количество студентов, которые правильно ответили на вопросы по страноведению, равно |B| = 18.
- Количество студентов, которые правильно ответили на вопросы по стилистике, равно |C| = 18.
- Количество студентов, которые правильно ответили на вопросы по лексикологии и страноведению, равно |A ∩ B| = 7.
- Количество студентов, которые правильно ответили на вопросы по лексикологии и стилистике, равно |A ∩ C| = 8.
- Количество студентов, которые правильно ответили на вопросы по страноведению и стилистике, равно |B ∩ C| = 9.
Известно, что трое студентов не дали правильных ответов ни на один вопрос, значит |D| = 3.
Теперь мы можем использовать формулу включений-исключений для решения задачи:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |D|
|A ∪ B ∪ C| это количество студентов, которые дали хотя бы один правильный ответ на любой из трех вопросов. Заметим, что это количество равно количеству участников олимпиады, т.е. |A ∪ B ∪ C| = 40.
Мы знаем значения всех частей формулы, кроме |A ∩ B ∩ C|. Решим уравнение:
40 = 20 + 18 + 18 - 7 - 8 - 9 + 3 - |A ∩ B ∩ C|
77 - |A ∩ B ∩ C| = 40
|A ∩ B ∩ C| = 37
Теперь, используя найденные значения, можем отвечать на вопросы:
1) Сколько студентов правильно ответили на все три вопроса?
Количество студентов, которые правильно ответили на все три вопроса, равно |A ∩ B ∩ C| = 37.
2) Сколько студентов правильно ответили ровно на два вопроса?
Количество студентов, которые правильно ответили ровно на два вопроса, можно найти как сумму всех пересечений множеств:
|A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ ¬C| + |A ∩ ¬B ∩ C| + |¬A ∩ B ∩ C|
Здесь ¬C - это дополнение множества C, т.е. студенты, которые не дали правильный ответ на вопросы по стилистике (40 - 18 = 22).
Таким образом, количество студентов, которые правильно ответили ровно на два вопроса, равно 37 + |A ∩ B ∩ ¬C| + |A ∩ ¬B ∩ C| + |¬A ∩ B ∩ C|, где нужно найти значения пересечений множеств.
3) Сколько студентов правильно ответили ровно на один вопрос?
Количество студентов, которые правильно ответили ровно на один вопрос, можно найти как сумму всех трех пар пересечений множеств:
|A ∩ ¬B ∩ ¬C| + |¬A ∩ B ∩ ¬C| + |¬A ∩ ¬B ∩ C|
Здесь ¬B и ¬C - это дополнения множеств B и C соответственно.
Таким образом, количество студентов, которые правильно ответили ровно на один вопрос, равно |A ∩ ¬B ∩ ¬C| + |¬A ∩ B ∩ ¬C| + |¬A ∩ ¬B ∩ C|, где нужно найти значения пересечений множеств.
4) Сколько студентов правильно ответили только на вопрос по лексикологии?
Количество студентов, которые правильно ответили только на вопрос по лексикологии, можно найти как разность между теми, кто ответил на этот вопрос, а также теми, кто ответил на другие вопросы:
|A ∩ ¬B ∩ ¬C| + |A ∩ B ∩ ¬C| + |A ∩ ¬B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|.
5) Сколько студентов правильно ответили только на вопрос по стилистике?
Количество студентов, которые правильно ответили только на вопрос по стилистике, можно найти как разность между теми, кто ответил на этот вопрос, а также теми, кто ответил на другие вопросы:
|¬A ∩ ¬B ∩ C| + |A ∩ ¬B ∩ C| + |¬A ∩ B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|.